Topologia cu un punct exclus

Topologia cu un punct exclus este un exemplu simplu și interesant de structură topologică. Ea se definește pe o mulțime $X$ prin excluderea unui singur punct $p$ din această mulțime. Ideea este că toate mulțimile care nu conțin punctul exclus, împreună cu mulțimea vidă și mulțimea totală, sunt considerate deschise.

Concret, familia de mulțimi care formează această topologie include:

mulțimea vidă ($Ø$)
întreaga mulțime $X$
toate submulțimile lui $X$ care nu conțin punctul $p$

Prin urmare, o submulțime este deschisă în topologia cu un punct exclus dacă și numai dacă nu conține punctul $p$, cu excepția cazului în care este chiar $X$ sau mulțimea vidă. Această definiție respectă toate axiomele necesare pentru a descrie o topologie pe un spațiu.

Notă. Această topologie este deosebită prin simplitatea construcției sale: excluderea unui singur punct produce proprietăți topologice neobișnuite, uneori surprinzătoare, utile pentru a înțelege mai bine conceptele de bază ale topologiei generale.

Un exemplu practic

Să considerăm mulțimea $X = \{a, b, c\}$. Alegem $p = a$ ca punct exclus. Pentru a construi topologia, includem toate submulțimile care nu conțin $a$, alături de mulțimea vidă și de $X$ însuși:

mulțimea vidă ($Ø$)
mulțimea totală $X = \{a, b, c\}$
submulțimile fără punctul $a$: $ \{b\}, \{c\}, \{b, c\} $

Astfel, topologia cu un punct exclus este:

$$ T = \{\emptyset, \{a, b, c\}, \{b\}, \{c\}, \{b, c\}\} $$

Putem verifica ușor că această familie de mulțimi respectă axiomele topologiei:

Reuniuni arbitrare: dacă unim două mulțimi deschise, obținem tot o mulțime deschisă.
De exemplu, $\{b\} \cup \{c\} = \{b, c\}$ și $\{b\} \cup \emptyset = \{b\}$, ambele aparțin lui $T$.
Intersecții finite: intersecția unui număr finit de mulțimi deschise rămâne deschisă.
De exemplu, $\{b\} \cap \{c\} = \emptyset$ și $\{b, c\} \cap \{b\} = \{b\}$, ambele aparțin lui $T$.
Condițiile de bază: familia conține atât mulțimea vidă, cât și mulțimea totală $X$.

Prin acest exemplu simplu se observă clar cum excluderea unui singur punct (în acest caz, $a$) modifică radical noțiunea de „mulțime deschisă". Topologia cu un punct exclus este un model didactic frecvent folosit pentru a înțelege cum micile modificări în definiția mulțimilor deschise pot genera structuri topologice complet diferite.