Topologia punctului particular
Topologia punctului particular pe o mulțime \( X \), unde este ales un punct distinct \( p \), se definește ca ansamblul tuturor submulțimilor lui \( X \) care sunt fie vide, fie conțin punctul \( p \).
Cu alte cuvinte, această topologie include mulțimea vidă, întreaga mulțime \( X \), dar și toate submulțimile lui \( X \) ce conțin punctul ales \( p \).
În unele lucrări, această structură mai este numită și „topologia punctului fix".
Observație. Pentru ca o astfel de familie de mulțimi să poată fi considerată o topologie, ea trebuie să respecte câteva reguli esențiale: să conțină mulțimea vidă și întreaga mulțime \( X \), să fie închisă față de reuniuni arbitrare și față de intersecții finite.
Exemplu
Să considerăm mulțimea \( X = \{a, b, c\} \) și să alegem \( a \) ca punct desemnat. Topologia punctului particular asociată acestui punct va include următoarele submulțimi:
- Mulțimea vidă: \( \emptyset \)
- Mulțimea totală: \( X = \{a, b, c\} \)
- Toate submulțimile care conțin punctul \( a \): \( \{a\}, \{a, b\}, \{a, c\} \)
Prin urmare, topologia definită este:
$$ T = \{ \emptyset, \{a\}, \{a, b\}, \{a, c\}, \{a, b, c\} \} $$
Putem verifica ușor că această familie respectă condițiile necesare pentru a fi o topologie:
- Include atât mulțimea vidă, cât și întreaga mulțime \( X \).
- Este stabilă la reuniuni arbitrare: orice reuniune de mulțimi care conțin punctul \( a \) (cu excepția posibilă a mulțimii vide) conține din nou \( a \), deci aparține lui \( T \).
- Este stabilă la intersecții finite: intersecția unui număr finit de astfel de mulțimi, dacă nu este vidă, conține întotdeauna punctul \( a \), deci rămâne în \( T \).
Rezultatul este o construcție simplă, dar importantă, care definește riguros o topologie pe mulțimea \( X \). Ea oferă un exemplu intuitiv de cum poate fi generată o structură topologică pornind de la o regulă minimală, dar coerentă.
