Topologia cu limită superioară
Topologia cu limită superioară este o structură matematică definită prin reuniuni arbitrare de intervale semi-deschise la dreapta, de forma \( (a, b] \), unde \( a \lt b \).
Mai simplu spus, un interval este considerat deschis în această topologie atunci când include limita sa superioară, dar nu și pe cea inferioară.
Formal, baza topologiei se exprimă astfel:
$$ B = \{ (a,b] \subset \mathbb{R} \ | \ a \lt b \} $$
Prin urmare, orice mulțime deschisă în această topologie este alcătuită din intervale care conțin întotdeauna capătul lor superior.
Observație : Este interesant de comparat această topologie cu topologia cu limită inferioară, unde mulțimile deschise sunt de forma \([a, b)\), adică includ limita inferioară și exclud limita superioară. Această paralelă arată cât de mult poate influența alegerea unei structuri topologice modul în care definim ideea de „deschidere".
Topologia cu limită superioară este un exemplu clasic în studiul topologiei generale. Ea demonstrează cum o simplă modificare a definiției mulțimilor deschise poate duce la rezultate și proprietăți complet diferite față de cele din topologia obișnuită.
Un exemplu concret
Să analizăm mulțimea numerelor reale \(\mathbb{R}\), considerată cu topologia generată de intervalele semi-deschise la dreapta.
Exemple tipice de mulțimi deschise în această topologie sunt \( (1,3] \), \( (2,6] \) și \( (-3,5] \).
Aceste intervale formează împreună baza topologiei cu limită superioară.
În toate aceste cazuri, capătul superior face parte din interval, în timp ce capătul inferior este exclus.
Topologia cu limită superioară apare în diverse contexte teoretice, fiind utilă atunci când dorim să explorăm noțiuni de convergență și continuitate diferite de cele definite de topologia standard pe \(\mathbb{R}\). Ea oferă o perspectivă alternativă asupra modului în care putem descrie „deschiderea" și „vecinătatea" în spațiile matematice.
