Exemple de topologii

În acest articol vom explora, pas cu pas, cum se pot determina toate topologiile posibile pe o mulțime mică. Exemplul ales este simplu, dar esențial pentru a înțelege cum funcționează conceptul de topologie.

$$ X = \{ a,b \} $$

Ideea de bază este următoarea: trebuie să găsim toate familiile de submulțimi ale lui $X$ care respectă definiția formală a unei topologii. Aceste familii se numesc topologii pe $X$.

Definiția unei topologii. O topologie pe o mulțime $X$ este o familie $T$ de submulțimi ale lui $X$ care respectă următoarele condiții:

conține mulțimea vidă $∅$ și întreaga mulțime $X$;
este închisă față de reuniuni arbitrare (adică reuniunea oricărui număr de mulțimi din $T$ este tot în $T$);
este închisă față de intersecții finite (intersecția unui număr finit de mulțimi din $T$ se află tot în $T$).

Pentru mulțimea $ X = \{a,b\} $, mulțimea părților (numită și mulțimea putere) este:

$$ P(X) = \{ ∅, \{ a \}, \{ b \}, X \} $$

Orice topologie pe $X$ trebuie să conțină neapărat $∅$ și $X$. Așadar, aceste două mulțimi vor apărea în toate topologiile posibile.

Analizând toate combinațiile care respectă cele trei reguli, obținem următoarea listă completă de topologii posibile:

Topologia trivială (sau minimă), care conține doar mulțimile indispensabile: $$ T_1 = \{ ∅, \{a,b\} \} $$
Topologia care include, în plus, singletonul $\{a\}$ : $$ T_2 = \{ ∅, \{a\}, \{a,b\} \} $$
Topologia care include, în schimb, singletonul $\{b\}$ : $$ T_3 = \{ ∅, \{b\}, \{a,b\} \} $$
Topologia discretă (sau maximă), care cuprinde toate submulțimile lui $X$ : $$ T_4 = \{ ∅, \{a\}, \{b\}, \{a,b\} \} $$

Acestea sunt toate topologiile posibile pe mulțimea $X$.

Topologia trivială este cea mai simplă: permite doar distincția între „nimic" și „totul". În schimb, topologia discretă este cea mai bogată, pentru că tratează fiecare submulțime ca deschisă. Între aceste două extreme se află topologiile intermediare $T_2$ și $T_3$, fiecare adăugând un singur element nou.

Prin urmare, mulțimea $ X = \{a,b\} $ admite exact patru topologii distincte.

Exemplul 2: o mulțime cu trei elemente

Să trecem la un exemplu puțin mai complex, o mulțime formată din trei elemente:

$$ X = \{ a,b,c \} $$

Ne întrebăm dacă următoarea familie definește o topologie pe $X$ :

$$ T_3 = \{ ∅, \{ a \}, \{ b \}, \{b,c\}, \{a,b,c\} \} $$

Mai întâi verificăm prima condiție: $ T_3 $ conține atât mulțimea vidă, cât și întreaga mulțime $X = \{a,b,c\}$. Deci această regulă este respectată.

Urmează testul stabilității la reuniuni arbitrare. Observăm însă că reuniunea $ \{a\} \cup \{b\} = \{a,b\} $ nu aparține lui $T_3$. Acest lucru încalcă definiția topologiei.

$$ \{a\} \cup \{b\} = \{a,b\} \notin T $$

Prin urmare, $T_3$ nu este o topologie validă pe $X$.

Odată ce una dintre condițiile esențiale este încălcată, nu mai are sens să verificăm celelalte. Metoda rămâne aceeași: verificăm pas cu pas fiecare condiție pentru a determina dacă o familie de mulțimi formează o topologie.