Diferența dintre o topologie mai fină și una mai grosieră
În matematică, atunci când lucrăm cu topologii definite pe aceeași mulțime \( X \), putem compara cât de „detaliate” sunt aceste structuri. De aici provin expresiile topologie mai fină și topologie mai grosieră.
- Topologie mai fină
Spunem că o topologie \( \tau \) este mai fină decât alta dacă include mai multe mulțimi deschise. Cu cât o topologie conține mai multe deschise, cu atât descrie spațiul într-un mod mai precis. - Topologie mai grosieră
În schimb, o topologie mai grosieră are mai puține mulțimi deschise și, prin urmare, oferă o descriere mai simplificată, mai puțin detaliată a aceleiași mulțimi \( X \).
Un exemplu simplu
Să considerăm mulțimea \( X = \{a, b\} \) și două topologii diferite definite pe aceasta:
- Prima topologie, \( \tau_1 \), este \( \{\varnothing, \{a, b\}\} \) - topologia trivială. Aici, singurele mulțimi deschise sunt cea vidă și întreaga mulțime.
- A doua topologie, \( \tau_2 \), este \( \{\varnothing, \{a\}, \{a, b\}\} \), care adaugă o mulțime deschisă în plus, \( \{a\} \).
Vedem astfel că \( \tau_2 \) este mai fină decât \( \tau_1 \), pentru că are un set deschis suplimentar. Prin urmare, \( \tau_1 \) este mai grosieră decât \( \tau_2 \).
Legătura cu noțiunea de continuitate
O funcție care este continuă într-o topologie mai grosieră va fi întotdeauna continuă și în orice topologie mai fină. Totuși, reciproca nu este valabilă în general.
Pentru a verifica dacă o funcție este continuă, se verifică dacă preimaginea oricărei mulțimi deschise din spațiul de sosire este o mulțime deschisă în domeniu.
Într-o topologie mai fină, trebuie analizate mai multe mulțimi deschise, ceea ce face testul de continuitate mai exigent. Într-o topologie mai grosieră, condiția de continuitate devine mai ușor de verificat, deoarece există mai puține mulțimi deschise.
Cu alte cuvinte, dacă o funcție este continuă într-o topologie mai grosieră, ea va fi continuă și într-o topologie mai fină, pentru că regula a fost deja îndeplinită într-un caz mai restrictiv.
Reciproca nu este garantată. O funcție care este continuă într-o topologie mai fină poate să nu fie continuă într-una mai grosieră, fiindcă în cea din urmă există mai puține mulțimi deschise, iar condiția poate să nu mai fie respectată pentru toate preimaginile.
Primul exemplu: o funcție constantă
Considerăm din nou \( X = \{a, b\} \), cu aceleași două topologii:
- Topologie mai grosieră: \( \tau_1 = \{\varnothing, \{a, b\}\} \)
- Topologie mai fină: \( \tau_2 = \{\varnothing, \{a\}, \{b\}, \{a, b\}\} \)
Definim funcția \( f : X \to Y \) astfel:
$$ f(a) = 1 $$
$$ f(b) = 1 $$
Funcția este constantă, deoarece ambele elemente sunt trimise la aceeași valoare. Verificăm acum continuitatea în topologia mai fină \( \tau_2 \):
- Preimaginea lui \( f^{-1}(\{1\}) = \{a, b\} \) este deschisă în \( \tau_2 \).
- Preimaginea vidului \( f^{-1}(\varnothing) = \varnothing \) este deschisă prin definiție.
Rezultă că \( f \) este continuă în topologia mai fină \( \tau_2 \).
Întrucât \( f \) este continuă în \( \tau_2 \), ea este, desigur, continuă și în \( \tau_1 \), deoarece în topologia mai grosieră sunt mai puține mulțimi de verificat:
- Preimaginea \( f^{-1}(\{1\}) = \{a, b\} \) este deschisă în \( \tau_1 \).
- Preimaginea vidului \( f^{-1}(\varnothing) = \varnothing \) este deschisă în \( \tau_1 \).
Prin urmare, \( f \) este continuă și în topologia mai grosieră \( \tau_1 \).
Al doilea exemplu: o funcție neconstantă
Folosim aceleași topologii \( \tau_1 \) și \( \tau_2 \), dar definim o altă funcție:
$$ g(a) = 1 $$
$$ g(b) = 2 $$
Verificăm continuitatea în topologia mai fină \( \tau_2 \):
- Preimaginea \( g^{-1}(\varnothing) = \varnothing \) este deschisă.
- Preimaginea \( g^{-1}(\{1,2\}) = \{a, b\} \) este deschisă.
- Preimaginea \( g^{-1}(\{1\}) = \{a\} \) este deschisă.
- Preimaginea \( g^{-1}(\{2\}) = \{b\} \) este deschisă.
Toate preimaginile sunt deschise în \( X \), deci \( g \) este continuă în topologia mai fină \( \tau_2 \).
În topologia mai grosieră \( \tau_1 \), situația se schimbă:
- Preimaginea \( g^{-1}(\varnothing) = \varnothing \) este deschisă.
- Preimaginea \( g^{-1}(\{1,2\}) = \{a, b\} \) este deschisă.
- Însă preimaginea \( g^{-1}(\{1\}) = \{a\} \), nu este o mulțime deschisă în \( \tau_1 \), pentru că în această topologie doar \( \varnothing \) și \( \{a, b\} \) sunt deschise.
Așadar, \( g \) nu este continuă în topologia mai grosieră \( \tau_1 \).
Concluzia este clară: o funcție poate fi continuă într-o topologie mai fină, dar nu neapărat într-una mai grosieră. O topologie mai fină oferă mai multă libertate pentru ca funcțiile să fie continue, în timp ce una mai grosieră restrânge această proprietate.
