Topologie factor

Fie $X$ un spațiu topologic și $A$ o mulțime care nu este neapărat un subansamblu al lui $X$. Presupunem că există o aplicație surjectivă $p : X \rightarrow A$. Un subansamblu $U$ al lui $A$ se numește deschis dacă și numai dacă preimaginea sa $p^{-1}(U)$ este deschisă în $X$.

Cu alte cuvinte, o mulțime $U$ din $A$ este deschisă în topologia factor (quotient) dacă și numai dacă preimaginea sa $p^{-1}(U)$ - adică mulțimea punctelor din $X$ care sunt trimise în $U$ prin aplicația $p$ - este o mulțime deschisă în $X$.

diagramă care ilustrează ideea de topologie factor

Prin acest principiu putem echipa mulțimea $A$ cu o nouă topologie, numită topologie factor, construită pe baza topologiei spațiului $X$ prin intermediul aplicației $p$.

Mulțimea $A$ se numește atunci spațiu factor, iar funcția $p$ se numește aplicație factor.

Mulțimea tuturor deschiselor din $A$ este adesea numită „topologia factor indusă de $p$".

Ideea centrală este următoarea: în topologia factor o mulțime este deschisă atunci când preimaginea ei în spațiul inițial este deschisă.

Este important însă să evităm o confuzie frecventă:

Preimaginea unui deschis din spațiul factor $A$ este întotdeauna un deschis în $X$.
Reciproca nu este în general adevărată: imaginea unui deschis din $X$ nu este neapărat deschisă în $A$, deoarece aplicația $p$ poate modifica structura topologică a mulțimii.

În esență, un spațiu factor este un spațiu topologic obținut dintr-un alt spațiu prin identificarea sau „lipirea" unor puncte conform unei relații de echivalență.

Intuitiv, acest proces constă în a considera mai multe puncte ale spațiului inițial ca fiind unul singur, pentru a studia proprietățile topologice ale spațiului rezultat.

De ce este utilă topologia factor ? Ea permite studierea unui spațiu $A$, adesea mai complex, folosind informațiile pe care le avem despre spațiul $X$, care în multe situații este mai simplu de analizat.

Explicație
Un exemplu concret
Exemplul 2
Proprietățile topologiei factor

Explicație

Noțiunea de „topologie factor" poate părea abstractă la început, dar devine mult mai intuitivă atunci când este ilustrată prin exemple concrete.

Topologia factor oferă un mod matematic de a transforma o figură prin identificarea sau lipirea unor părți ale ei.

Imaginează-ți, de exemplu, că ai o foaie de hârtie în formă de pătrat. Dacă lipești două laturi opuse, obții un cilindru.

transformarea unei foi pătrate într-un cilindru prin lipirea laturilor opuse

Dacă unești apoi marginile circulare ale cilindrului, rezultatul este o suprafață în formă de inel: un tor.

formarea unui tor prin identificarea marginilor unui cilindru

În acest proces, pătratul este transformat mai întâi într-un cilindru și apoi într-un tor, prin identificarea corespunzătoare a marginilor sale.

În mod similar, topologia factor permite construirea unor spații topologice noi pornind de la spații mai simple, prin identificarea anumitor părți ale acestora.

Această idee este fundamentală în topologie pentru studierea proprietăților globale ale suprafețelor și spațiilor.

Un exemplu concret

Să considerăm spațiul topologic $ X = [0,1] $, echipat cu topologia obișnuită, în care mulțimile deschise sunt intervale deschise sau reuniuni de intervale deschise.

În acest spațiu:

mulțimile $X$ și $ \emptyset $ sunt deschise prin definiție;
orice interval deschis $ (a,b) $, cu $0 \leq a < b \leq 1$, este un deschis al lui $X$.

Geometric, putem reprezenta $X$ ca un segment de dreaptă care unește punctele $0$ și $1$.

reprezentarea geometrică a segmentului [0,1]

Construim acum un spațiu factor identificând capetele intervalului, adică punctele $0$ și $1$ sunt considerate același punct.

Definim aplicația

$$ p(x) = \begin{cases} p(0) & \text{dacă } x = 0 \text{ sau } x = 1 \\ \\ x & \text{dacă } 0 < x < 1 \end{cases} $$

Spațiul factor $A$ astfel obținut poate fi vizualizat ca un cerc în care punctele $0$ și $1$ au fost identificate.

obținerea unui cerc prin identificarea capetelor intervalului

Cu alte cuvinte, am „curbat" segmentul pentru a uni capetele sale și a obține o figură închisă.

În acest nou spațiu $A$, punctul $P = \{0,1\}$ reprezintă imaginea comună a celor două capete prin aplicația $p$.

Pentru a defini topologia pe $A$, trebuie să stabilim care submulțimi sunt deschise.

Prin definiție, o mulțime $U \subseteq A$ este deschisă dacă preimaginea sa $p^{-1}(U)$ este deschisă în $[0,1]$.

Să analizăm două situații tipice.

Intervalul $U=(a,b)$ care nu conține punctul $P$
Preimaginea sa în $X$ este intervalul deschis $ (a,b) $, deci $U$ este deschis în $A$.
Intervalul $U=(a,b)$ care conține punctul $P=\{0,1\}$
Preimaginea sa în $X$ este reuniunea intervalelor $ [0,a) \cup (b,1] $, fiecare fiind deschis în $X$. Prin urmare, $U$ este deschis în $A$.

Astfel am construit un nou spațiu topologic $A$ - un cerc - pornind de la intervalul $[0,1]$.

Acesta este un exemplu clasic care arată cum topologia factor poate transforma un spațiu simplu într-un spațiu topologic mai bogat.

Exemplul 2

În acest al doilea exemplu dorim să „înfășurăm" dreapta reală în jurul unui cerc.

Considerăm dreapta reală $ \mathbb{R} $, care se întinde la infinit în ambele direcții.

Ideea este să proiectăm această dreaptă pe un cerc, identificând fiecare număr real cu partea sa fracționară.

Definim aplicația

$ p(x)=x \mod 1 $.

Intuitiv, aceasta înseamnă că fiecărui număr real $x$ îi asociem doar partea sa zecimală, adică partea de după virgulă.

De exemplu, dacă $x=1{,}3$, partea zecimală este 0,3 și punctul este plasat pe cerc în poziția corespunzătoare lui 0,3. Dacă $x=2{,}7$, partea zecimală este 0,7, ceea ce corespunde aceluiași punct ca $0{,}7$.
înfășurarea dreptei reale pe un cerc

Observăm că de fiecare dată când $x$ crește cu o unitate (de exemplu 1,3 → 2,3 → 3,3), imaginea sa pe cerc rămâne aceeași.

Acest proces de „înfășurare" înseamnă că identificăm punctele 0 și 1, precum și toate numerele congruente cu ele modulo 1.

Să analizăm câteva exemple de intervale.

Intervalul (0,1) în $ \mathbb{R} $
Intervalul $ (0,1) $ se transformă într-un arc deschis al cercului. El rămâne deschis în spațiul factor deoarece preimaginea sa în $ \mathbb{R} $ este deschisă.
Intervalul (1,2) în $ \mathbb{R} $
Intervalul $ (1,2) $ se proiectează pe același arc ca $ (0,1) $, deoarece $1 \mod 1 = 0$ și $2 \mod 1 = 0$. Prin urmare, nu aduce informații noi pentru topologia factor.
Intervalul (0,2) în $ \mathbb{R} $
Intervalul $ (0,2) $ acoperă întreaga circumferință, trecând de două ori prin fiecare punct. Deși este deschis în $ \mathbb{R} $, imaginea sa pe cerc este întregul spațiu, care în acest caz este simultan deschis și închis (clopen).

Observație : acest exemplu arată că imaginea unui deschis din $ \mathbb{R} $ nu este neapărat un deschis în spațiul factor.

În schimb, orice deschis al cercului are întotdeauna o preimagine deschisă în $ \mathbb{R} $.

Dacă „desfășurăm" un deschis al cercului în $ \mathbb{R} $, obținem o reuniune infinită de intervale deschise.

Totuși, reciproca nu este garantată: un deschis din $ \mathbb{R} $ nu are neapărat o imagine deschisă pe cerc.

Concluzie

Nu putem presupune că un deschis din $ \mathbb{R} $ se proiectează automat într-un deschis al cercului. Aplicația de proiecție poate modifica structura topologică a mulțimii.

Exemplul 3

În acest al treilea exemplu construim un spațiu factor pornind de la o succesiune finită de numere întregi consecutive, prin identificarea primului ($m$) și a ultimului ($n$) element al secvenței $ \{ m, m+1, \ldots, n \} \subset \mathbb{Z} $.

Să considerăm, de exemplu, șirul celor șapte numere întregi consecutive de la 1 la 7:

$$ I_7 = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7\} $$

Acest subansamblu reprezintă un interval numeric, deoarece este format din numere întregi succesive.

Identificăm acum primul element (1) cu ultimul (7). Intuitiv, putem imagina că „închidem" segmentul pentru a forma o buclă.

formarea unui cerc numeric prin identificarea capetelor unui interval discret

Rezultatul este o structură numită cerc numeric $ C_6 $, alcătuită din 6 puncte dispuse circular.

În această structură, fiecare punct are exact doi vecini, iar punctele sunt conectate într-un mod ciclic.

Acesta este un exemplu de topologie factor, deoarece spațiul inițial este transformat într-un nou spațiu topologic prin identificarea unor puncte.

Observație : Rezultatul este analog cu cel obținut prin identificarea capetelor unui interval real. Diferența este că aici lucrăm cu numere întregi, ceea ce produce un spațiu discret și finit.

Cercul numeric este totodată un exemplu de topologie numerică, unde fiecare punct este conectat cu vecinii săi imediați printr-o relație de proximitate.

Este vorba despre un spațiu discret în care se folosesc concepte precum conexitatea și mulțimile deschise numerice.

Observație : În topologia numerică, o mulțime $ U $ este considerată deschisă dacă, pentru orice punct $ x \in U $, și vecinii săi (în sensul relației de adiacență alese) aparțin tot lui $ U $ - adiacență-2 în 1D, adiacență-4 sau -8 în 2D, adiacență-6, -18 sau -26 în 3D.

Este important să observăm că topologia factor și topologia numerică aparțin unor cadre teoretice diferite.

Cu alte cuvinte, chiar dacă cercul numeric poate fi obținut prin identificarea unor puncte, el aparține domeniului topologiei discrete.

Exemplul 4

Să considerăm mulțimea numerelor reale $ \mathbb{R} $, înzestrată cu topologia sa obișnuită.

Definim o aplicație de identificare $ p : \mathbb{R} \to \{a, b, c\} $ astfel:

$$ p(x) = \begin{cases} a & \text{dacă } x < 0 \\ \\ b & \text{dacă } x = 0 \\ \\ c & \text{dacă } x > 0 \end{cases} $$

Această aplicație contractă toate numerele reale negative într-un singur punct $a$, trimite punctul $0$ în $b$ și identifică toate numerele reale pozitive cu punctul $c$.

Topologia factor indusă de $p$ este determinată de preimaginile acestor trei puncte.

Avem:

$ p^{-1}(a) = (-\infty, 0) $, care este deschis în $ \mathbb{R} $;
$ p^{-1}(b) = \{0\} $, care nu este deschis;
$ p^{-1}(c) = (0, \infty) $, care este deschis.

Într-o topologie factor, un subansamblu din $ \{a,b,c\} $ este deschis dacă și numai dacă preimaginea sa prin $p$ este deschisă în $ \mathbb{R} $.

Rezultă astfel că următoarele mulțimi sunt deschise:

$ \{a\} $, deoarece preimaginea sa este $ (-\infty,0) $;
$ \{c\} $, deoarece preimaginea sa este $ (0,\infty) $;
$ \{a,c\} $, deoarece preimaginea este $ \mathbb{R}\setminus\{0\} $.

În plus, două mulțimi sunt întotdeauna deschise în orice topologie:

mulțimea vidă $ \emptyset $;
mulțimea totală $ \{a,b,c\} $.

Prin urmare, deschisele topologiei factor sunt:

$$ \emptyset, \quad \{a\}, \quad \{c\}, \quad \{a,c\}, \quad \{a,b,c\} $$

În schimb, singletonul $ \{b\} $ nu este deschis, deoarece preimaginea sa $ \{0\} $ nu este deschisă în $ \mathbb{R} $.

Astfel, punctul $b$ nu are nicio vecinătate deschisă proprie în spațiul de origine.

Din punct de vedere topologic, el se comportă ca o singularitate, adică un punct izolat care întrerupe structura locală a spațiului.

Proprietățile topologiei factor

În încheiere, să reamintim câteva proprietăți fundamentale ale oricărei topologii factor.

Mulțimea vidă și mulțimea totală sunt întotdeauna deschise

Prin definiție, într-o topologie factor:
- $ p^{-1}(\emptyset) = \emptyset $, care este deschisă;
- $ p^{-1}(A) = X $, care este întregul spațiu și deci este deschis.
Observație : Mulțimea vidă și mulțimea totală sunt deschise în orice topologie.
Reuniuni arbitrare de mulțimi deschise
Dacă fiecare $U_i$ este deschisă în $A$, atunci și reuniunea lor este deschisă.

$$ p^{-1}\!\left(\bigcup U_i\right) = \bigcup p^{-1}(U_i) $$

Deoarece reuniunea oricărui număr de deschise rămâne deschisă în $X$, proprietatea se transmite și topologiei factor.
Intersecții finite de mulțimi deschise
Dacă $U_1, U_2, \dots, U_n$ sunt deschise în $A$, atunci și intersecția lor finită este deschisă.

$$ p^{-1}\!\left(\bigcap U_i\right) = \bigcap p^{-1}(U_i) $$

Această proprietate rezultă din faptul că intersecțiile finite de deschise rămân deschise în spațiul $X$.

Aceste proprietăți constituie baza teoretică pentru înțelegerea structurii spațiilor topologice factor.