Reuniunea mulțimilor deschise în topologia quotient

Fie o familie de mulțimi deschise $ U_i $ în topologia quotient $ Q $. Preimaginea reuniunii lor este egală cu reuniunea preimaginilor corespunzătoare, fiecare dintre acestea fiind deschisă în topologia inițială pe $ X $ : $$ p^{-1}\left( \bigcup U_i \right) = \bigcup p^{-1}(U_i) $$ Prin urmare, reuniunea unor mulțimi deschise din $ Q $ este, la rândul ei, o mulțime deschisă în topologia quotient.

Un exemplu intuitiv

Pentru a înțelege mai bine această proprietate, să considerăm mulțimea numerelor reale $ \mathbb{R} $, echipată cu topologia sa uzuală.

Definim pe acest spațiu o topologie quotient prin aplicația $ p : \mathbb{R} \to \mathbb{R}/\mathbb{Z} $, care asociază fiecărui număr real $ x $ clasa sa de echivalență modulo 1.

În termeni mai simpli, aplicația $ p $ trimite fiecare număr real la partea sa fracționară.

Astfel, numere precum 0{,}3, 1{,}3, 2{,}3, 3{,}3 și așa mai departe sunt toate identificate cu același punct 0{,}3 în spațiul quotient.

reprezentare grafică a identificării numerelor reale modulo Z într-un spațiu quotient

Din punct de vedere geometric, spațiul quotient $ Q $ poate fi reprezentat ca un cerc. Fiecare punct al cercului corespunde unui număr real din intervalul [0,1), adică de la 0 inclus până la 1 exclus.

Să considerăm acum două mulțimi deschise în $ Q = \mathbb{R}/\mathbb{Z} $ :

$ U_1 = (0{,}1, 0{,}4) $
$ U_2 = (0{,}6, 0{,}8) $

În spațiul quotient, aceste mulțimi pot fi văzute ca două arce deschise ale cercului.

Să analizăm ce se întâmplă cu preimaginile lor în $ \mathbb{R} $.

Preimaginea lui $ U_1 $ prin aplicația $ p $ este reuniunea intervalelor corespunzătoare din $ \mathbb{R} $ :
\[ p^{-1}(U_1) = (0{,}1,0{,}4) \cup (1{,}1,1{,}4) \cup (2{,}1,2{,}4) \cup \dots \]
În mod similar, preimaginea lui $ U_2 $ este :
\[ p^{-1}(U_2) = (0{,}6,0{,}8) \cup (1{,}6,1{,}8) \cup (2{,}6,2{,}8) \cup \dots \]

Reuniunea mulțimilor $ U_1 $ și $ U_2 $ în spațiul quotient este

$$ U_1 \cup U_2 = (0{,}1,0{,}4) \cup (0{,}6,0{,}8) $$

Preimaginea acestei reuniuni este

$$ p^{-1}(U_1 \cup U_2) = p^{-1}(U_1) \cup p^{-1}(U_2) $$

adică

$$ p^{-1}(U_1 \cup U_2) = (0{,}1,0{,}4) \cup (0{,}6,0{,}8) \cup (1{,}1,1{,}4) \cup (1{,}6,1{,}8) \cup \dots $$

Aceasta este o colecție de intervale deschise în $ \mathbb{R} $, deci o mulțime deschisă în topologia uzuală.

Prin urmare, reuniunea $ U_1 \cup U_2 $ este într-adevăr o mulțime deschisă în topologia quotient pe $ A = \mathbb{R}/\mathbb{Z} $.

Același argument rămâne valabil pentru orice reuniune de mulțimi deschise din $ Q $, fie ea finită sau infinită.