Continuitatea aplicațiilor între spații topologice

Fie \(X\) și \(Y\) două spații topologice. O aplicație \(f : X \to Y\) se numește continuă dacă, pentru orice mulțime deschisă \(V\) din \(Y\), preimaginea \(f^{-1}(V)\) este o mulțime deschisă în \(X\).

Cu alte cuvinte, o funcție continuă în topologie păstrează structura mulțimilor deschise atunci când trimite punctele dintr-un spațiu topologic în altul.

Ideea centrală este simplă: atunci când aplicăm funcția, mulțimile deschise rămân „compatibile" cu structura topologică a spațiului inițial.

Observație : În topologie, noțiunea de continuitate este mai generală decât în analiza matematică. În analiză, continuitatea este definită folosind distanța dintre puncte. În topologie însă, conceptul este formulat exclusiv în termeni de mulțimi deschise. Din acest motiv, definiția topologică funcționează chiar și în situații în care noțiunea de distanță nu există.

Un mod intuitiv de a înțelege continuitatea este următorul: o funcție continuă poate deforma o figură geometrică fără a o rupe și fără a o tăia.

Astfel, structura inițială a spațiului - în special mulțimile deschise - rămâne intactă după aplicarea funcției.

Un exemplu concret

Să considerăm două spații topologice finite:

• \(X = \{a, b, c, d\}\)
• \(Y = \{1, 2\}\)

Mulțimile deschise ale acestor spații sunt:

• Deschisele din \(X\): \(\{\}, \{a\}, \{a, b\}, \{a, b, c, d\}\)
• Deschisele din \(Y\): \(\{\}, \{1\}, \{1, 2\}\)

Definim funcția \(f : X \rightarrow Y\) astfel:

\( f(a) = 1 \), \( f(b) = 1 \), \( f(c) = 2 \), \( f(d) = 2 \)

Întrebarea este: această funcție este continuă?

Pentru a analiza situația, reprezentăm funcția și cele două spații topologice, evidențiind mulțimile deschise.

Verificăm definiția continuității.

• Pentru mulțimea deschisă /ro/math/definiia-continuitii-prin-mulimi-deschise\(\{1\}\) din \(Y\), preimaginea este \( f^{-1}(\{1\}) = \{a, b\} \), care este deschisă în \(X\).
• Pentru mulțimea deschisă \(\{1,2\}\) din \(Y\), preimaginea este \( f^{-1}(\{1,2\}) = \{a,b,c,d\} \), care este de asemenea deschisă în \(X\).

Nu este necesar să verificăm mulțimea vidă, deoarece aceasta este deschisă în orice spațiu topologic.

Prin urmare, condiția din definiție este îndeplinită și funcția \(f\) este continuă.

Exemplul 2

Considerăm acum o altă funcție \(g : X \rightarrow Y\):

\( g(a) = 1 \), \( g(b) = 1 \), \( g(c) = 1 \), \( g(d) = 2 \)

Reprezentăm situația grafic.

Verificăm din nou definiția.

• Pentru mulțimea deschisă \(\{1\}\) din \(Y\), preimaginea este \( g^{-1}(\{1\}) = \{a,b,c\} \).

Această mulțime nu este deschisă în \(X\).

Prin urmare, există o mulțime deschisă din \(Y\) a cărei preimagine nu este deschisă în \(X\).

Concluzia este că funcția \(g\) nu este continuă.

Exemplul 3

Să analizăm funcția identitate \( id : X \to X \), definită prin:

$$ x = f(x) $$

În acest caz, fiecare element este trimis în el însuși.

Din punct de vedere topologic, orice mulțime deschisă este trimisă în ea însăși și rămâne deschisă.

Prin urmare, funcția identitate \(f(x)=x\) este întotdeauna continuă.

Exemplul 4

Considerăm acum o funcție constantă:

$$ f(x)=c $$

Indiferent de elementul ales din \(X\), funcția produce mereu aceeași valoare \(c\).

Pentru a verifica continuitatea analizăm preimaginile mulțimilor deschise din \(Y\).

• Dacă \(c \in V\), atunci \( f^{-1}(V)=X \), care este deschis.
• Dacă \(c \notin V\), atunci \( f^{-1}(V)=\emptyset \), care este tot deschis.

În ambele situații preimaginea este o mulțime deschisă.

Prin urmare, orice funcție constantă este continuă.

Observație : Acest exemplu arată că proprietatea de continuitate depinde atât de funcție, cât și de structura topologică a spațiilor implicate.

Exemplul 5

Considerăm acum funcția identitate \( f : X \to Y \), definită prin \(f(x)=x\), dar între două topologii diferite.

• \(X=\mathbb{R}\) cu topologia uzuală, în care deschisele sunt intervalele \((a,b)\).
• \(Y=\mathbb{R}\) cu topologia limitei inferioare, în care deschisele sunt intervalele \([a,b)\).

Analizăm mulțimea deschisă \( [0,1) \) din \(Y\).

Pentru funcția identitate:

\( f^{-1}([0,1))=[0,1) \)

Însă această mulțime nu este deschisă în topologia uzuală.

Observație : În topologia uzuală, un set este deschis dacă în jurul fiecărui punct există un interval complet inclus în acel set. Pentru punctul \(0\), această condiție nu este îndeplinită.

Prin urmare, aplicația identitate între aceste două topologii nu este continuă.

Acest exemplu arată clar că continuitatea unei funcții depinde și de topologiile spațiilor de plecare și de sosire.

Teorema bazei pentru continuitate

Fie \(X\) și \(Y\) două spații topologice. O funcție \(f : X \to Y\) este continuă dacă și numai dacă, pentru orice mulțime \(B_Y\) dintr-o bază a topologiei lui \(Y\), preimaginea \(f^{-1}(B_Y)\) este deschisă în \(X\).

Această teoremă este foarte utilă deoarece simplifică verificarea continuității.

În loc să analizăm toate mulțimile deschise ale lui \(Y\), este suficient să verificăm doar elementele unei baze a topologiei.

Astfel, numărul de cazuri care trebuie analizate se reduce considerabil.

Demonstrație : Orice mulțime deschisă din \(Y\) poate fi scrisă ca reuniune (eventual infinită) de elemente ale bazei \(B_Y\). Dacă preimaginea fiecărui element al bazei este deschisă în \(X\), atunci preimaginea oricărei reuniuni este tot o reuniune de mulțimi deschise și, prin urmare, este deschisă în \(X\). Rezultă că funcția \(f\) este continuă.

Exemplu

Fie:

• \(X=\{a,b,c,d\}\)
• \(Y=\{x,y,z\}\)

Topologiile sunt:

• \( \tau_X=\{\emptyset,\{a\},\{a,b\},\{a,b,c,d\}\}\)
• baza lui \(Y\): \(B_Y=\{\{x\},\{y\},\{z\}\}\)

Mulțimile deschise din \(Y\) se obțin ca reuniuni ale acestor elemente.

De exemplu: \( \{x,y\}, \{x,z\}, \{y,z\}, \{x,y,z\} \).

Definim funcția:

• \(f(a)=x\)
• \(f(b)=x\)
• \(f(c)=y\)
• \(f(d)=z\)

Analizăm preimaginile elementelor bazei.

• \(f^{-1}(\{x\})=\{a,b\}\), care este deschisă în \(X\).
• \(f^{-1}(\{y\})=\{c\}\), care nu este deschisă în \(X\).

Deoarece există un element al bazei a cărui preimagine nu este deschisă, rezultă că funcția \(f\) nu este continuă.

Observație : Este suficient un singur contraexemplu pentru a demonstra că o funcție nu este continuă.

Continuitatea în topologii mai grosiere și mai fine

Dacă o funcție este continuă pentru o topologie mai grosieră, atunci ea este continuă și pentru orice topologie mai fină definită pe aceeași mulțime.

Reciproca nu este însă valabilă în general. O funcție poate fi continuă într-o topologie mai fină fără să fie continuă într-o topologie mai grosieră.

Topologii mai fine și mai grosiere. Fie două topologii definite pe aceeași mulțime \(X\). O topologie este mai grosieră dacă are mai puține mulțimi deschise și mai fină dacă are mai multe.

Exemplu

Să considerăm mulțimea \(X = \{a, b\}\), dotată cu două topologii:

1. Topologie mai grosieră : \( \tau_1 = \{\varnothing, \{a, b\}\} \). În această topologie doar mulțimea vidă și mulțimea totală sunt deschise.
2. Topologie mai fină : \( \tau_2 = \{\varnothing, \{a\}, \{b\}, \{a, b\}\} \). În acest caz și mulțimile \(\{a\}\) și \(\{b\}\) sunt deschise.

Definim funcția \(f : X \to Y\), unde \(Y = \{1\}\):

$$ f(a) = 1 \quad ; \quad f(b) = 1 $$

În topologia \( \tau_1 \), mulțimile deschise sunt doar \( \varnothing \) și \( \{a, b\} \).

Verificăm dacă funcția este continuă.

• \( f^{-1}(\varnothing) = \varnothing \), care este deschisă în \( \tau_1 \).
• \( f^{-1}(\{1\}) = \{a, b\} \), care este de asemenea deschisă în \( \tau_1 \).

Rezultă că funcția \(f\) este continuă în topologia grosieră \( \tau_1 \).

Orice mulțime deschisă din \( \tau_1 \) este deschisă și în \( \tau_2 \). Prin urmare, funcția \(f\) este continuă și în topologia mai fină \( \tau_2 \).

În topologia \( \tau_2 \), mulțimile deschise sunt:

• \( \varnothing \)
• \( \{a\} \)
• \( \{b\} \)
• \( \{a, b\} \)

• \( f^{-1}(\varnothing) = \varnothing \), deschisă.
• \( f^{-1}(\{1\}) = \{a, b\} \), deschisă.

Prin urmare, funcția este continuă în ambele topologii.

Reciproca nu este în general adevărată. O funcție poate fi continuă într-o topologie mai fină, dar să nu fie continuă într-o topologie mai grosieră, deoarece aceasta conține mai puține mulțimi deschise.

Exemplul 2

Să considerăm din nou mulțimea \(X = \{a, b\}\) cu aceleași două topologii.

1. Topologie mai grosieră : \( \tau_1 = \{\varnothing, \{a, b\}\} \)
2. Topologie mai fină : \( \tau_2 = \{\varnothing, \{a\}, \{b\}, \{a, b\}\} \)

Definim funcția \(g : X \to Y\), unde \(Y = \{1,2\}\):

$$ g(a) = 1 \quad ; \quad g(b) = 2 $$

Funcția \(g\) este continuă în topologia mai fină \( \tau_2 \), deoarece toate preimaginile mulțimilor deschise din \(Y\) sunt deschise:

• \( g^{-1}(\varnothing) = \varnothing \)
• \( g^{-1}(\{1,2\}) = \{a,b\} \)
• \( g^{-1}(\{1\}) = \{a\} \)
• \( g^{-1}(\{2\}) = \{b\} \)

În schimb, funcția \(g\) nu este continuă în topologia grosieră \( \tau_1 \).

• \( g^{-1}(\varnothing) = \varnothing \), deschisă.
• \( g^{-1}(\{1,2\}) = \{a,b\} \), deschisă.
• \( g^{-1}(\{1\}) = \{a\} \), care nu este deschisă în \( \tau_1 \).

Prin urmare, \(g\) este continuă în \( \tau_2 \), dar nu este continuă în \( \tau_1 \).

Conexitatea și continuitatea

În topologia generală, conexitatea și continuitatea sunt două concepte fundamentale.

Ele descriu aspecte diferite ale spațiilor topologice:

• conexitatea privește structura internă a spațiului;
• continuitatea privește comportamentul funcțiilor dintre spații.

Conexitatea este o proprietate a spațiului.

Un spațiu topologic \(X\) este conex dacă nu poate fi împărțit în două mulțimi deschise disjuncte și nevide a căror reuniune este întregul spațiu.

Intuitiv, un spațiu conex nu poate fi separat în două părți fără a „rupe" structura topologică.

Continuitatea, în schimb, este o proprietate a aplicațiilor.

O funcție \(f : X \to Y\) este continuă dacă pentru orice mulțime deschisă \(V\) din \(Y\), preimaginea \(f^{-1}(V)\) este deschisă în \(X\).

Cu alte cuvinte, o funcție continuă păstrează structura topologică a domeniului.

Un rezultat clasic leagă aceste două concepte:

Dacă \(X\) este conex și \(f : X \to Y\) este continuă, atunci imaginea \(f(X)\) este un subansamblu conex al lui \(Y\).

Prin urmare, continuitatea păstrează conexitatea.

Observații

Câteva proprietăți utile despre continuitatea în topologie:

• O funcție continuă nu este neapărat o aplicație deschisă
  Continuitatea nu implică faptul că imaginea unei mulțimi deschise este deschisă.
• Lema de lipire
  Dacă două funcții continue \( f : A \to Y \) și \( g : B \to Y \) coincid pe \(A \cap B\), ele pot fi combinate într-o funcție continuă \( h : A \cup B \to Y \).
• Continuitatea aplicației de incluziune
  Aplicația de incluziune \(f : Y \to X\), definită prin \(f(y)=y\), este continuă atunci când \(Y\) este un subspațiu topologic al lui \(X\).
• Continuitatea în topologia cât
  Dacă \(f : X \to A\) este surjectivă, putem defini pe \(A\) topologia cât pentru ca \(f\) să devină continuă.
• Teoremă despre aderență
  Dacă \(x \in \overline{A}\) în \(X\), atunci \(f(x) \in \overline{f(A)}\) în \(Y\), dacă \(f\) este continuă.
• Definiția prin mulțimi deschise
  O funcție este continuă dacă preimaginea oricărei mulțimi deschise este deschisă.
• Definiția prin mulțimi închise
  Echivalent, preimaginea oricărei mulțimi închise este închisă.
• Compunerea funcțiilor continue
  Compunerea a două funcții continue este continuă.
• Continuitatea și șirurile convergente
  Imaginea unui șir convergent printr-o funcție continuă converge către imaginea limitei.
• Funcții polinomiale
  În \( \mathbb{R} \) cu topologia uzuală, orice funcție polinomială este continuă.

Și multe alte proprietăți importante…