Continuitatea în topologia quotient

În topologia quotient, o aplicație surjectivă $ f : X \to A $ este continuă prin definiție. O mulțime $ V \subseteq A $ este considerată deschisă dacă și numai dacă preimaginea sa $ f^{-1}(V) $ este o mulțime deschisă în $ X $.

Să considerăm un spațiu topologic $ X $ și o aplicație surjectivă $ f : X \to A $, unde $ A $ este o mulțime arbitrară, fără a presupune că este inclusă în $ X $.

Topologia quotient definită pe $ A $ este construită special astfel încât aplicația $ f $ să fie continuă.

Mai precis, un subansamblu $ V \subseteq A $ este deschis în această topologie dacă și numai dacă preimaginea sa

$$ f^{-1}(V) $$

este o mulțime deschisă în $ X $.

Prin urmare, continuitatea aplicației $ f $ rezultă direct din definiția topologiei quotient.

Observație : În topologia quotient, condiția de continuitate este încorporată chiar în definiția topologiei. Din acest motiv, aplicația $ f $ este automat continuă.

Un exemplu concret

Să considerăm mulțimea

$$ X = \{a, b, c\} $$

formată din trei elemente distincte.

Definim o aplicație surjectivă

$$ f : X \to A $$

unde

$$ A = \{1,2\} $$

și stabilim următoarea corespondență :

$ f(a) = f(b) = 1 $
$ f(c) = 2 $

În acest caz, aplicația $ f $ identifică punctele $ a $ și $ b $, trimițându-le pe amândouă în punctul $ 1 $ din $ A $.

În topologia quotient, o mulțime $ V \subseteq A $ este deschisă dacă și numai dacă preimaginea sa $ f^{-1}(V) $ este deschisă în $ X $.

De exemplu, dacă alegem $ V = \{1\} \subseteq A $, atunci $ f^{-1}(\{1\}) = \{a,b\} $. Dacă $ \{a,b\} $ este deschisă în $ X $, atunci și $ V $ este deschisă în $ A $.

În acest exemplu, mulțimile deschise din $ A $ sunt :

$$ \emptyset, \{1,2\}, \{2\} $$

$ f^{-1}(\emptyset) = \emptyset $, care este deschisă în orice topologie
$ f^{-1}(\{1,2\}) = \{a,b,c\} = X $, deci este deschisă
$ f^{-1}(\{1\}) = \{a,b\} $, deschisă în $ X $
$ f^{-1}(\{2\}) = \{c\} $, de asemenea deschisă în $ X $

Acest lucru arată că topologia quotient definită pe $ A $ garantează continuitatea aplicației $ f $, deoarece fiecare mulțime deschisă din $ A $ are o preimagine deschisă în $ X $.

Pe scurt, continuitatea aplicației $ f $ este o consecință directă a definiției topologiei quotient.

Același principiu se aplică în orice situație similară.