Topologia cu limită inferioară
În topologia cu limită inferioară, o mulțime este considerată deschisă dacă poate fi exprimată ca o reuniune de intervale semi-deschise de forma [a, b), unde a < b.
Cu alte cuvinte, un interval de acest tip include marginea sa inferioară, dar nu și pe cea superioară. Aceasta reprezintă o abordare diferită față de topologia standard, în care intervalele deschise sunt de forma (a, b) și exclud ambele capete.
Baza topologiei cu limită inferioară este definită astfel:
$$ B = \{ [a,b) \subset \mathbb{R} \mid a \lt b \} $$
Fiecare element al bazei este un interval care conține capătul stâng, dar nu și pe cel drept. Din reuniunea acestor intervale se pot construi toate mulțimile deschise din această topologie.
Observație: Topologia cu limită inferioară, cunoscută și sub numele de topologia liniei lui Sorgenfrey, este un exemplu celebru folosit în topologia generală. Ea arată cum schimbarea regulilor de definire a mulțimilor deschise poate modifica profund proprietățile unui spațiu.
Un exemplu concret
Putem vizualiza această topologie dacă luăm mulțimea numerelor reale \(\mathbb{R}\) și considerăm ca mulțimi deschise toate intervalele de forma [a, b).
De exemplu, intervalele [0, 2), [1, 4) sau [-4, 2) fac parte din baza acestei topologii. Prin combinarea lor obținem alte mulțimi deschise, după aceleași reguli.
Întregul set de astfel de intervale semi-deschise la stânga formează baza topologiei cu limită inferioară, un model esențial pentru a înțelege cum definiția unei topologii influențează structura spațiului.
