Topologia trivială

Topologia trivială (sau minimală) pe o mulțime $ X $ este formată din doar două mulțimi: mulțimea vidă și mulțimea $ X $ în întregime. $$ T = \{ \emptyset , X \} $$

Se numește trivială pentru că reprezintă cea mai simplă modalitate de a introduce o structură topologică pe o mulțime. În această topologie apar doar mulțimea vidă Ø și mulțimea totală $ X $, adică submulțimile improprii ale lui $ X $.

Noțiuni fundamentale

Presupunând că $ X $ este o mulțime nevidă, dotarea ei cu topologia trivială $ T $ conduce la cea mai elementară formă de structură topologică imaginabilă.

$$ (X, T) $$

În acest cadru, topologia $ T $ include exclusiv cele două mulțimi esențiale:

$$ T = \{ \emptyset , X \} $$

Această alegere permite verificarea imediată a axiomelor fundamentale ale unei topologii, care cer următoarele:

mulțimea vidă Ø și întreaga mulțime $ X $ trebuie să se afle în $ T $
reuniunea oricărei familii de mulțimi deschise din $ T $ trebuie să fie o mulțime deschisă din $ T $
intersecția a două mulțimi deschise din $ T $ trebuie, de asemenea, să fie o mulțime deschisă din $ T $

În cazul particular $ T = \{ \emptyset, X \} $, toate aceste cerințe sunt îndeplinite automat.

Demonstrație. Mulțimea vidă și $ X $ aparțin deja topologiei $ T $. Vidul este considerat deschis în orice topologie, iar $ X $ este deschis prin definiție.

Întrucât în $ T $ nu există alte mulțimi, orice reuniune sau intersecție posibilă va produce tot una dintre aceste două mulțimi. Axiomele topologiei sunt astfel respectate fără efort suplimentar.

Rezultă că toate condițiile topologice sunt verificate.

De ce se numește topologie minimală

Topologia trivială este considerată minimală deoarece conține strict ceea ce este obligatoriu într-o topologie. Nimic în plus.

O topologie este minimală atunci când eliminarea oricăruia dintre elementele sale duce la pierderea statutului de topologie.

Orice topologie pe $ X $ trebuie să conțină cel puțin mulțimea vidă Ø și mulțimea totală $ X $. Topologia trivială include exact aceste două mulțimi. Dacă am elimina una dintre ele, structura obținută nu ar mai respecta axiomele topologice.

Astfel, topologia trivială $ T = \{ \emptyset, X \} $ reprezintă forma cea mai simplă și mai redusă de topologie ce poate fi definită pe $ X $.

Observație. Deși elegantă prin simplitate, topologia trivială oferă foarte puține informații despre structura internă a mulțimii. Cu toate acestea, ocupă un loc important în teoria topologiilor, deoarece marchează limita inferioară a complexității. La polul opus se află topologia discretă, unde orice submulțime a lui $ X $ este deschisă.

Și așa mai departe