Mulțimi dense în topologie

Fie un spațiu topologic $ X $. Un subansamblu $ A \subset X $ se numește dens dacă închiderea sa coincide cu întregul spațiu: $$ \text{Cl}(A) = X $$

Intuitiv, o mulțime densă este „prezentă peste tot" în spațiu: oricât de mică ar fi o regiune deschisă, ea conține cel puțin un punct din $ A $.

Formal, această idee este echivalentă cu afirmația: orice mulțime deschisă nevidă din $ X $ intersectează $ A $.

Închiderea (aderența) unei mulțimi cuprinde punctele mulțimii, împreună cu toate punctele sale limită, adică acele puncte care pot fi aproximate arbitrar de precis prin elemente ale mulțimii.

Exemple concrete

Exemplul 1

În topologia uzuală pe $ \mathbb{R} $, mulțimea numerelor raționale $ \mathbb{Q} \subset \mathbb{R} $ este densă.

Între oricare două numere reale distincte există întotdeauna un număr rațional. Prin urmare, orice $ x \in \mathbb{R} $ poate fi aproximat cât de precis dorim prin elemente din $ \mathbb{Q} $.

Rezultă:

$$ \text{Cl}(\mathbb{Q}) = \mathbb{R} $$

Deci $ \mathbb{Q} $ este densă în $ \mathbb{R} $.

Observație. Aceeași proprietate o are și mulțimea numerelor iraționale $ \mathbb{I} \subset \mathbb{R} $. Orice interval deschis conține atât raționale, cât și iraționale, astfel încât: $$ \text{Cl}(\mathbb{I}) = \mathbb{R} $$

Exemplul 2

În topologia complementului finit pe $ \mathbb{R} $, mulțimea $ \mathbb{R} \setminus \{0\} $ este densă.

În această topologie, o mulțime este deschisă dacă complementul său este finit.

Complementul lui $ \mathbb{R} \setminus \{0\} $ este mulțimea finită $ \{0\} $, deci $ \mathbb{R} \setminus \{0\} $ este deschisă.

Pentru a determina închiderea, analizăm punctul 0.

Orice vecinătate deschisă a lui 0 are complement finit și, în consecință, intersectează inevitabil $ \mathbb{R} \setminus \{0\} $. Rezultă că 0 este punct de aderență al mulțimii.

Concluzia:

$$ \text{Cl}(\mathbb{R} \setminus \{0\}) = \mathbb{R} $$

Așadar, mulțimea este densă.

Observație. Mai general, în topologia complementului finit, orice subansamblu infinit este dens. Motivul este simplu: singurele mulțimi închise netriviale sunt mulțimile finite și spațiul însuși. Prin urmare, închiderea unei mulțimi infinite coincide cu întregul spațiu.

Exemplul 3

În topologia uzuală pe $ \mathbb{R} $, intervalul deschis $ (0,1) $ nu este dens.

Închiderea sa este intervalul închis $ [0,1] $, deoarece punctele 0 și 1 sunt puncte limită:

$$ \text{Cl}((0,1)) = [0,1] $$

Deoarece $ [0,1] \neq \mathbb{R} $, rezultă că $ (0,1) $ nu este dens în $ \mathbb{R} $.

Observație. Dacă însă considerăm $ (0,1) $ ca subansamblu al lui $ [0,1] $, cu topologia indusă, situația se schimbă: $$ \text{Cl}_{[0,1]}((0,1)) = [0,1] $$ Prin urmare, $ (0,1) $ devine dens în subspațiul $ [0,1] $.

Densitatea este, așadar, o proprietate care trebuie raportată întotdeauna la spațiul ambiant.