Înglobări topologice
În topologie, o înglobare este o aplicație continuă și injectivă \( f: X \rightarrow Y \) între două spații topologice \( X \) și \( Y \), astfel încât \( f \) realizează un homeomorfism între \( X \) și imaginea sa \( f(X) \), aceasta fiind înzestrată cu topologia indusă din \( Y \).
Pe scurt, o aplicație este o înglobare dacă:
- este continuă;
- este injectivă;
- inversa sa, definită pe imagine \( f(X) \), este continuă.
Aceasta înseamnă că structura topologică a lui \( X \) este păstrată integral în interiorul lui \( Y \), mai precis în subspațiul \( f(X) \).
Un exemplu concret
Să analizăm un exemplu simplu, pas cu pas.
- Spațiul \( X \)
\( X = \{a, b, c\} \), cu topologia \( \mathcal{T}_X = \{\emptyset, \{a\}, \{a, b\}, X\} \). - Spațiul \( Y \)
\( Y = \{1, 2, 3, 4\} \), cu topologia \( \mathcal{T}_Y = \{\emptyset, \{1\}, \{1, 2\}, \{1, 2, 3\}, Y\} \).
Definim aplicația:
$$ f(a) = 1 \\ f(b) = 2 \\ f(c) = 3 $$
Verificăm dacă \( f \) este o înglobare.
1] Continuitatea
O aplicație este continuă dacă preimaginea oricărei mulțimi deschise din \( Y \) este deschisă în \( X \).
- \( f^{-1}(\emptyset) = \emptyset \);
- \( f^{-1}(\{1\}) = \{a\} \);
- \( f^{-1}(\{1, 2\}) = \{a, b\} \);
- \( f^{-1}(\{1, 2, 3\}) = X \);
- \( f^{-1}(Y) = X \).
Toate aceste mulțimi sunt deschise în \( X \), deci \( f \) este continuă.
2] Injectivitatea
Elemente diferite din \( X \) au imagini diferite în \( Y \):
$$ f(a) = 1 \\ f(b) = 2 \\ f(c) = 3 $$
Deci \( f \) este injectivă.
3] Continuitatea inversei
Imaginea este:
$$ f(X) = \{1, 2, 3\} $$
Topologia indusă pe \( f(X) \) este:
$$ \mathcal{T}_{f(X)} = \{\emptyset, \{1\}, \{1, 2\}, \{1, 2, 3\}\} $$
Observație. Topologia indusă pe un subspațiu se obține intersectând mulțimile deschise ale spațiului inițial cu acel subspațiu.
În acest caz:
- \( Y = \{1, 2, 3, 4\} \);
- \( f(X) = \{1, 2, 3\} \).
Intersecțiile relevante sunt:
- \( \emptyset \cap \{1, 2, 3\} = \emptyset \)
- \( \{1\} \cap \{1, 2, 3\} = \{1\} \)
- \( \{1, 2\} \cap \{1, 2, 3\} = \{1, 2\} \)
- \( \{1, 2, 3\} \cap \{1, 2, 3\} = \{1, 2, 3\} \)
- \( \{1, 2, 3, 4\} \cap \{1, 2, 3\} = \{1, 2, 3\} \)
Verificăm continuitatea inversei:
- \( \emptyset \mapsto \emptyset \);
- \( \{a\} \mapsto \{1\} \);
- \( \{a, b\} \mapsto \{1, 2\} \);
- \( X \mapsto \{1, 2, 3\} \).
Aceste mulțimi sunt deschise în \( f(X) \), deci \( f^{-1} \) este continuă.
Concluzie. Aplicația \( f \) este o înglobare.
Înglobare și homeomorfism
- Homeomorfism
O aplicație bijectivă continuă, cu inversă continuă, care face două spații topologice echivalente. - Înglobare
O aplicație care „plasează” un spațiu în interiorul altuia, fără a-i modifica structura topologică.
Diferența esențială este că un homeomorfism compară două spații în ansamblu, în timp ce o înglobare descrie modul în care un spațiu apare ca subspațiu al altuia.
Și așa mai departe...
