Puncte de acumulare în topologie

Într-un spațiu topologic $X$, un punct $x$ se numește punct de acumulare (sau punct limită) al unei submulțimi $A \subseteq X$ dacă orice vecinătate a lui $x$ conține cel puțin un punct din $A$ diferit de $x$.

Intuitiv, oricât de „aproape" ne-am uita în jurul lui $x$, găsim mereu puncte din $A$ distincte de $x$.

În formulare riguroasă, condiția se exprimă astfel:

$$ U \cap (A \setminus \{x\}) \neq \emptyset $$

pentru orice vecinătate $U$ a lui $x$.

Un punct de acumulare poate aparține sau nu mulțimii $A$.

În $\mathbb{R}$, înzestrat cu topologia uzuală, noțiunea are o interpretare geometrică simplă. Un punct $x$ este punct de acumulare al lui $A$ dacă orice interval deschis $(x-\epsilon, x+\epsilon)$ conține puncte din $A$ diferite de $x$.
ilustrație a conceptului de punct de acumulare pe dreapta reală
Aceeași idee se extinde fără modificări conceptuale la $\mathbb{R}^n$: fiecare vecinătate a lui $x$ trebuie să intersecteze mulțimea $A$ într-un punct diferit de $x$. În dimensiuni mai mari, vizualizarea devine mai dificilă, însă definiția rămâne identică.

Exemple concrete
Observații

Exemple concrete

Considerăm mulțimea $A \subset \mathbb{R}$:

$$ A = \left\{ \frac{1}{n} \mid n \in \mathbb{N}^+ \right\} $$

Adică $A = \{1, \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{1}{4}, \ldots \}$.

Ne întrebăm dacă $0$ este punct de acumulare.

Orice vecinătate a lui $0$ conține un interval $(a, b)$ cu $a < 0 < b$.

Șirul $\frac{1}{n}$ converge la $0$, deci pentru $n$ suficient de mare avem $\frac{1}{n} \in (a, b)$.

Prin urmare, fiecare vecinătate a lui $0$ conține puncte din $A$ diferite de $0$.

Concluzie: $0$ este punct de acumulare al lui $A$.

reprezentare a lui 0 ca punct de acumulare

Exemplul 2

Considerăm mulțimea $B \subset \mathbb{R}$:

$$ B = \left\{ n + \frac{1}{n} \mid n \in \mathbb{N}^+ \right\} $$

Adică $B = \{2, 2.5, 3.333\ldots, \ldots\}$.

Verificăm dacă $1$ este punct de acumulare.

Putem alege un interval deschis $(1-\epsilon, 1+\epsilon)$ cu $\epsilon$ mic.

Toate valorile din $B$ sunt strict mai mari decât $1$.

Există vecinătăți ale lui $1$ care nu intersectează deloc mulțimea $B$.

Concluzie: $1$ nu este punct de acumulare al lui $B$.

Exemplul 3

Considerăm intervalul $(0, 1]$.

Determinăm punctele sale de acumulare.

Puncte din interiorul intervalului
Fie $x \in (0,1]$. Orice vecinătate a lui $x$ conține puncte din $(0,1)$ diferite de $x$.
Punctele de la capete
- Punctul $0$: Deși $0 \notin (0,1]$, orice vecinătate a lui $0$ conține puncte strict pozitive din interval.

- Punctul $1$: Deoarece $1 \in (0,1]$, orice vecinătate a lui $1$ conține puncte din $(0,1)$ diferite de $1$.
Puncte exterioare lui $[0,1]$
Dacă $x < 0$ sau $x > 1$, putem găsi o vecinătate a lui $x$ disjunctă de $(0,1]$.
De exemplu, alegem $(x-\epsilon, x+\epsilon)$ cu $\epsilon$ suficient de mic. Această vecinătate nu conține puncte din interval.

În concluzie, punctele de acumulare ale intervalului $(0,1]$ sunt exact punctele din intervalul închis $[0,1]$.

Exemplul 4

Să analizăm mulțimea punctelor de acumulare pentru $ A = (0, 1] $ în topologia limitei inferioare pe $ \mathbb{R} $.

În topologia limitei inferioare, numită și topologia Sorgenfrey, deschisele de bază sunt intervalele de forma $[a, b)$, cu $a < b$. Orice mulțime deschisă este o reuniune de astfel de intervale.

Reamintim definiția: un punct $x$ este punct de acumulare al unei mulțimi $A$ dacă orice vecinătate a lui $x$ conține cel puțin un punct din $A$ diferit de $x$.

Examinăm cazurile:

Cazul $x \in (0,1)$
Orice vecinătate a lui $x$ conține un interval de forma $[x, x+\epsilon)$. Acest interval include infinit de multe puncte din $A$. Prin urmare, orice $x$ din $(0,1)$ este punct de acumulare.
Cazul $x = 1$
Vecinătățile lui $1$ sunt de forma $[1, 1+\epsilon)$. Intersecția cu $A$ este $\{1\}$. Nu apar puncte distincte de $1$. Concluzie: $1$ nu este punct de acumulare.
Cazul $x = 0$
Orice vecinătate $[0, \epsilon)$ conține puncte strict pozitive, deci puncte din $A$. Concluzie: $0$ este punct de acumulare.
Cazul $x < 0$ sau $x > 1$
Putem alege o vecinătate care nu intersectează deloc $A$. Aceste puncte nu sunt puncte de acumulare.

Rezultatul final:

$$ A' = [0, 1) $$

Mulțimea punctelor de acumulare ale intervalului $A = (0,1]$ în topologia Sorgenfrey este intervalul $[0,1)$.

Observații

Câteva idei esențiale pentru a fixa conceptul:

Închiderea unei mulțimi
În orice spațiu topologic, închiderea lui $A$ este $$ \text{Cl}(A) = A \cup A' $$ Ea include punctele mulțimii și punctele sale de acumulare.
Legătura cu convergența
În topologia uzuală pe $\mathbb{R}$, orice punct de acumulare este limita unui șir de puncte din $A \setminus \{x\}$.
Unicitatea limitei
În spații hausdorff, limitele șirurilor sunt unice. În spații nehausdorff, această proprietate poate eșua.

Punctele de acumulare descriu modul în care o mulțime „se adună” în jurul anumitor puncte și reprezintă un instrument central în topologie.