Topologia produs

Fie două spații topologice $X$ și $Y$. Topologia produs pe $X \times Y$ este topologia generată de baza $B$, formată din produsele carteziene ale mulțimilor deschise de forma $U \times V$, unde $U$ este o mulțime deschisă din $X$, iar $V$ este o mulțime deschisă din $Y$. $$ B = \{ U \times V \mid U \text{ este deschis în } X \text{ și } V \text{ este deschis în } Y \} $$

Pentru a defini o topologie pe $X \times Y$, pornim de la mulțimile de forma $U \times V$, unde $U$ este deschis în $X$ iar $V$ este deschis în $Y$.

Această familie de mulțimi, notată $B$, constituie o bază a unei topologii.

O bază topologică este o colecție de mulțimi deschise cu proprietatea că orice altă mulțime deschisă din spațiul $X \times Y$ poate fi scrisă ca reuniune de elemente ale acestei colecții.

În topologia produs, produsul cartezian a două mulțimi deschise este tot o mulțime deschisă.

Observație : Mulțimile deschise din topologia produs nu se limitează la produsele carteziene $U \times V$. Ele includ și toate reuniunile posibile ale acestor produse. Prin urmare, mulțimea $B$ nu reprezintă o topologie completă, ci doar o bază. Dacă am considera $B$ drept o topologie, am pierde o parte dintre mulțimile deschise obținute prin reuniuni.

Același principiu este valabil și pentru mulțimile închise.

În topologia produs, produsul cartezian a două mulțimi închise este tot o mulțime închisă.

Totuși, nu orice mulțime închisă din topologia produs poate fi exprimată ca produs al unor mulțimi închise.

Cu alte cuvinte, la fel ca în cazul mulțimilor deschise, există mulțimi închise în topologia produs care nu provin dintr-un produs cartezian de mulțimi închise.

Un exemplu concret
Produsul mai multor spații topologice
Baza topologiei produs
Observații finale

Un exemplu concret

Pentru a înțelege mai bine cum funcționează topologia produs, să analizăm un exemplu simplu.

Considerăm următoarele spații topologice :

$X$ este dreapta reală $\mathbb{R}$, echipată cu topologia uzuală (ale cărei mulțimi deschise sunt intervalele deschise $(a, b)$).
$Y$ este tot $\mathbb{R}$, cu aceeași topologie uzuală.

Produsul $X \times Y$ corespunde planului cartezian $\mathbb{R}^2$.

Pentru a construi baza $B$ a topologiei produs pe $X \times Y$, luăm toate produsele $U \times V$, unde $U$ este deschis în $X$ iar $V$ este deschis în $Y$.

De exemplu, considerăm intervalul deschis $U = (1, 2)$ în $X$.

Și intervalul deschis $V = (3, 4)$ în $Y$.

Produsul cartezian

$$ U \times V = (1, 2) \times (3, 4) $$

este o mulțime deschisă în $\mathbb{R}^2$. Ea reprezintă un dreptunghi deschis în planul cartezian.

dreptunghi deschis în planul cartezian R2

Să vedem acum ce se întâmplă dacă luăm reuniunea a două astfel de mulțimi.

Considerăm :

$U_1 \times V_1 = (1, 2) \times (3, 4)$

și

$U_2 \times V_2 = (1.5, 2.5) \times (3.5, 4.5)$

Ambele reprezintă dreptunghiuri deschise în plan.

reuniunea a două dreptunghiuri deschise în plan

Reuniunea lor este

$$ (1, 2) \times (3, 4) \cup (1.5, 2.5) \times (3.5, 4.5) $$

Această mulțime nu mai poate fi scrisă ca un singur produs cartezian $U \times V$. Totuși, fiind formată din elemente ale bazei, ea rămâne o mulțime deschisă în topologia produs.

Prin urmare, orice punct din plan poate fi inclus într-o reuniune de mulțimi de bază de forma $U \times V$.

De exemplu, punctul $(1.8, 3.8)$ aparține mulțimii $ (1, 2) \times (3, 4) $ și, implicit, reuniunii celor două dreptunghiuri.

punct aparținând reuniunii unor deschise de bază în plan

Acest exemplu arată clar că baza $B$ generează o topologie pe produsul $X \times Y$.

Observație : Topologia produs este importantă deoarece păstrează structura topologică a spațiilor $X$ și $Y$ atunci când construim produsul lor $X \times Y$.

Exemplul 2

Să analizăm acum două spații topologice finite :

$X = \{a, b, c\}$, cu topologia $\{\emptyset, \{a\}, \{b, c\}, X\}$
$Y = \{1, 2\}$, cu topologia $\{\emptyset, \{1\}, Y\}$

Pentru a determina topologia produs pe $X \times Y$, calculăm toate produsele carteziene dintre mulțimile deschise din $X$ și $Y$, apoi luăm toate reuniunile posibile ale acestora.

$$ B = \{ U \times V \mid U \text{ este deschis în } X \text{ și } V \text{ este deschis în } Y \} $$

Mulțimile deschise din $X$ sunt :

$\emptyset$
$\{a\}$
$\{b, c\}$
$X = \{a, b, c\}$

Mulțimile deschise din $Y$ sunt :

$\emptyset$
$\{1\}$
$Y = \{1, 2\}$

Calculăm acum produsele carteziene :

$\emptyset \times \emptyset = \emptyset$
$\emptyset \times \{1\} = \emptyset$
$\emptyset \times Y = \emptyset$
$\{a\} \times \emptyset = \emptyset$
$\{a\} \times \{1\} = \{(a, 1)\}$
$\{a\} \times Y = \{(a, 1), (a, 2)\}$
$\{b, c\} \times \emptyset = \emptyset$
$\{b, c\} \times \{1\} = \{(b, 1), (c, 1)\}$
$\{b, c\} \times Y = \{(b, 1), (b, 2), (c, 1), (c, 2)\}$
$X \times \emptyset = \emptyset$
$X \times \{1\} = \{(a, 1), (b, 1), (c, 1)\}$
$X \times Y = \{(a, 1), (a, 2), (b, 1), (b, 2), (c, 1), (c, 2)\}$

Observație : Produsul cartezian al două mulțimi este mulțimea tuturor perechilor $(a, b)$ pentru care $a \in A$ și $b \in B$. Formal : \[ A \times B = \{(a, b) \mid a \in A \text{ și } b \in B\} \] Dacă una dintre mulțimi este vidă ($\emptyset$), nu se poate forma nicio pereche, iar produsul este mulțimea vidă : \[ \emptyset \times B = \emptyset \]

Topologia produs este formată din toate reuniunile posibile ale acestor produse carteziene. Prin urmare, în $X \times Y$, ea include :

$\emptyset$
$\{(a, 1)\}$
$\{(a, 1), (a, 2)\}$
$\{(b, 1), (c, 1)\}$
$\{(b, 1), (b, 2), (c, 1), (c, 2)\}$
$\{(a, 1), (b, 1), (c, 1)\}$
$X \times Y = \{(a, 1), (a, 2), (b, 1), (b, 2), (c, 1), (c, 2)\}$
Orice altă reuniune a acestor mulțimi
De exemplu : $\{(a, 1)\} \cup \{(b, 1), (c, 1)\} = \{(a, 1), (b, 1), (c, 1)\}$.

Topologia produs pe $X \times Y$ este formată din toate aceste reuniuni.

Observăm astfel că, în topologia produs, mulțimile deschise nu sunt doar produsele simple $U \times V$. Reuniunile acestor produse sunt, de asemenea, mulțimi deschise.

De exemplu : $\{(a, 1)\} \cup \{(b, 1), (c, 1)\}$ este o mulțime deschisă în topologia produs. Prin urmare, este greșit să credem că numai produsele $U \times V$ formează mulțimile deschise.

Baza $B$ a topologiei pe $X \times Y$ este alcătuită numai din produsele carteziene nevide.

$\{(a, 1)\}$
$\{(a, 1), (a, 2)\}$
$\{(b, 1), (c, 1)\}$
$\{(b, 1), (b, 2), (c, 1), (c, 2)\}$
$\{(a, 1), (b, 1), (c, 1)\}$
$X \times Y = \{(a, 1), (a, 2), (b, 1), (b, 2), (c, 1), (c, 2)\}$

Produsul mai multor spații topologice

Noțiunea de topologie produs se extinde în mod natural și la cazul în care avem mai mult de două spații topologice.

Fie $ n $ spații topologice $ X_1, X_2, \dots, X_n $. Dacă pentru fiecare $ i $ alegem o mulțime deschisă $ U_i \subseteq X_i $, atunci mulțimea tuturor produselor carteziene $ U_1 \times U_2 \times \cdots \times U_n $ formează o bază pentru o topologie pe spațiul produs $ X_1 \times \cdots \times X_n $. $$ B = \{ U_1 \times U_2 \times \cdots \times U_n \mid U_i \text{ este deschis în } X_i \text{ pentru orice } i \} $$

Cu alte cuvinte, deschisele de bază ale topologiei produs sunt obținute combinând deschise din fiecare spațiu component.

Baza topologiei produs

În cazul produsului a două spații topologice, baza topologiei produs este formată din produsele carteziene ale mulțimilor deschise din fiecare spațiu.

$$ B = \{ U \times V \mid U \text{ este deschis în } X,\; V \text{ este deschis în } Y \} $$

În multe situații această bază poate deveni foarte mare.

Din acest motiv se folosește adesea o metodă mai eficientă pentru a construi o bază echivalentă.

Dacă $ B_X $ este o bază pentru topologia lui $ X $, iar $ B_Y $ este o bază pentru topologia lui $ Y $, atunci mulțimea produselor $ U \times V $, unde $ U \in B_X $ și $ V \in B_Y $, formează o bază pentru topologia produs pe $ X \times Y $ : $$ B = \{ U \times V \mid U \in B_X,\; V \in B_Y \} $$

Această colecție de mulțimi este suficientă pentru a genera întreaga topologie produs.

În practică, elementele lui $ B $ sunt deschisele elementare ale topologiei produs, iar orice altă mulțime deschisă poate fi scrisă ca reuniune a unor astfel de produse carteziene.

Observație : Aceeași idee se extinde fără dificultate la produse finite de spații topologice. Dacă $ B_i $ este o bază pentru topologia lui $ X_i $, atunci produsele $ B_1 \times B_2 \times \cdots \times B_n $ formează o bază pentru topologia produs pe $ X_1 \times \cdots \times X_n $ : $$ B = \{ B_1 \times \cdots \times B_n \mid B_i \text{ este element al bazei lui } X_i,\; i = 1,\dots,n \} $$

Exemplu

Să analizăm un exemplu simplu.

Spațiul $ X = \{a, b\} $, echipat cu topologia $ \mathcal{T}_X = \{\emptyset, \{a\}, \{b\}, \{a,b\}\} $. Baza minimă este $ B_X = \{\{a\}, \{b\}\} $.
Spațiul $ Y = \{1, 2\} $, echipat cu topologia $ \mathcal{T}_Y = \{\emptyset, \{1\}, \{2\}, \{1,2\}\} $. Baza minimă este $ B_Y = \{\{1\}, \{2\}\} $.

Pentru a construi o bază minimă a topologiei produs, este suficient să luăm produsele carteziene ale elementelor din aceste baze.

$$ B_X = \{\{a\}, \{b\}\}, \qquad B_Y = \{\{1\}, \{2\}\} $$

Produsele carteziene sunt :

$$ \{a\} \times \{1\} = \{(a,1)\}, \qquad \{a\} \times \{2\} = \{(a,2)\} $$

$$ \{b\} \times \{1\} = \{(b,1)\}, \qquad \{b\} \times \{2\} = \{(b,2)\} $$

Prin urmare, baza minimă a topologiei produs pe $ X \times Y $ este :

$$ B_{\text{min}} = \{\{(a,1)\},\{(a,2)\},\{(b,1)\},\{(b,2)\}\} $$

Această colecție de mulțimi este suficientă pentru a genera întreaga topologie produs pe $ X \times Y $.

Ideea importantă este că putem lucra cu mulțimi foarte simple, numite uneori mulțimi atomice, care nu pot fi descompuse în deschise mai mici. Chiar și așa, ele descriu complet structura topologică a produsului.

Demonstrație

Vom arăta că mulțimea

$$ B = \{U \times V \mid U \in B_X,\; V \in B_Y\} $$

este într-adevăr o bază pentru topologia produs pe $ X \times Y $.

Știm că $ B_X $ și $ B_Y $ sunt baze pentru topologiile spațiilor $ X $ și $ Y $.

Prin definiție, mulțimile deschise din topologia produs sunt reuniuni de mulțimi de forma $ U \times V $, unde $ U \subseteq X $ și $ V \subseteq Y $ sunt deschise.

Trebuie deci să arătăm că orice deschis $ W \subseteq X \times Y $ poate fi scris ca reuniune de elemente din $ B $.

Verificarea proprietății de bază

Fie $ W $ o mulțime deschisă și fie $ (x,y) \in W $.

Prin definiția topologiei produs există un dreptunghi deschis $ U' \times V' \subseteq W $ astfel încât

$$ (x,y) \in U' \times V' \subseteq W $$

Deoarece $ B_X $ este bază pentru $ X $, există $ U \in B_X $ astfel încât

$$ x \in U \subseteq U' $$

În mod analog, deoarece $ B_Y $ este bază pentru $ Y $, există $ V \in B_Y $ astfel încât

$$ y \in V \subseteq V' $$

Rezultă că

$$ (x,y) \in U \times V \subseteq U' \times V' \subseteq W $$

Prin urmare, pentru fiecare punct al lui $ W $ există un element din baza $ B $ care îl conține și care este inclus în $ W $.

Concluzie

Rezultă că orice deschis $ W $ poate fi scris ca reuniune de elemente ale lui $ B $. Prin urmare, $ B $ generează topologia produs pe $ X \times Y $.

Demonstrația este astfel completă.

Observații finale

Iată câteva rezultate utile legate de topologia produs.

Teorema subspațiului produs
Dacă $ A \subseteq X $ și $ B \subseteq Y $ sunt subspații topologice, atunci topologia indusă pe $ A \times B $ coincide cu topologia produs construită din topologiile de subspațiu ale lui $ A $ și $ B $. $$ \tau_{A \times B}^{\text{sub}} = \tau_A^{\text{sub}} \times \tau_B^{\text{sub}} $$
Echivalența topologică a produselor
Pentru trei spații topologice $ X, Y, Z $, spațiile $ (X \times Y) \times Z $, $ X \times (Y \times Z) $ și $ X \times Y \times Z $ sunt homeomorfe. $$ (X \times Y) \times Z \cong X \times (Y \times Z) \cong X \times Y \times Z $$
Teorema interiorului unui produs cartezian
Pentru două mulțimi $ A \subseteq X $ și $ B \subseteq Y $, interiorul produsului lor cartezian este $$ \text{Int}(A \times B) = \text{Int}(A) \times \text{Int}(B) $$