Asociativitatea produsului de spații topologice

Fie $X$, $Y$ și $Z$ trei spații topologice. Produsele $$ (X \times Y) \times Z $$ $$ X \times (Y \times Z) $$ $$ X \times Y \times Z $$ sunt toate homeomorfe între ele: $$ (X \times Y) \times Z \cong X \times (Y \times Z) \cong X \times Y \times Z $$

Cu alte cuvinte, modul în care grupăm factorii într-un produs cartezian nu schimbă structura topologică a spațiului obținut.

Indiferent dacă formăm mai întâi $X \times Y$ și apoi înmulțim rezultatul cu $Z$, sau dacă începem cu $Y \times Z$ și apoi luăm produsul cu $X$, spațiul final rămâne același din punct de vedere topologic.

În termeni mai simpli, produsul cartezian al spațiilor topologice este o operație asociativă.

Observație : Această proprietate este foarte utilă în practică. Ea permite lucrul cu produse ale mai multor spații topologice fără a fi necesar să ne preocupăm de ordinea sau de modul în care sunt grupați factorii.

Un exemplu concret

Pentru a vedea mai clar această proprietate, să considerăm un exemplu simplu folosind spații bine cunoscute: $\mathbb{R}$, linia reală cu topologia uzuală, și $\mathbb{R}^2$, planul cartezian cu topologia produs.

Luăm trei copii ale spațiului $\mathbb{R}$ :

$X = \mathbb{R}$
$Y = \mathbb{R}$
$Z = \mathbb{R}$

Putem construi produsul acestor trei spații în mai multe moduri.

Produsul $(X \times Y) \times Z$
Mai întâi formăm $X \times Y$, care este planul $\mathbb{R}^2$. Apoi luăm produsul cu $Z$, obținând spațiul $\mathbb{R}^2 \times \mathbb{R}$. Elementele sale sunt triplete de forma $((x, y), z)$, unde $x, y, z \in \mathbb{R}$. Acest spațiu este homeomorf cu $\mathbb{R}^3$.
Produsul $X \times (Y \times Z)$
În acest caz începem cu $Y \times Z$, care este tot $\mathbb{R}^2$. Apoi luăm produsul cu $X$, obținând spațiul $\mathbb{R} \times \mathbb{R}^2$. Elementele sale sunt triplete de forma $(x, (y, z))$. Și acest spațiu este homeomorf cu $\mathbb{R}^3$.
Produsul $X \times Y \times Z$
Putem considera direct produsul celor trei spații. În acest caz elementele sunt triplete $(x, y, z)$ cu $x, y, z \in \mathbb{R}$. Spațiul obținut este, în mod natural, homeomorf cu $\mathbb{R}^3$.

În toate aceste situații rezultatul este același din punct de vedere topologic: obținem un spațiu homeomorf cu $\mathbb{R}^3$.

Prin urmare, modul în care asociem factorii sau ordinea în care construim produsele nu modifică topologia spațiului final.

Acest exemplu arată clar că produsul cartezian al spațiilor topologice conduce, indiferent de asocierea aleasă, la același spațiu topologic, până la homeomorfism.