Convergența șirurilor într-un spațiu topologic

Fie $ X $ un spațiu topologic. Un punct $ x \in X $ se numește limită a unui șir $ (x_n) $ dacă, pentru orice vecinătate $ U $ a lui $ x $, există un număr întreg pozitiv $ N $ astfel încât, pentru orice $ n \geq N $, să avem $ x_n \in U $.

Cu alte cuvinte, șirul $ (x_n) $ converge către punctul $ x $ dacă, începând de la un anumit indice, toți termenii săi se află în interiorul oricărei vecinătăți a lui $ x $.

Această idee se exprimă formal prin relația:

$$ \lim_{n \to \infty} x_n = x $$

În această situație spunem că $ x $ este limita șirului $ (x_n) $.

Exemplu

Să vedem cum funcționează această definiție într-un caz concret. Considerăm șirul

$$ x_n = \left( \frac{1}{n} \right) $$

și spațiul topologic $ X = \mathbb{R} $ dotat cu topologia uzuală.

Vom arăta că șirul $ \left( \frac{1}{n} \right) $ converge către $ 0 $, adică faptul că $ 0 $ este limita acestui șir.

Luăm o vecinătate arbitrară $ U $ a lui $ 0 $.

În topologia standard a lui $ \mathbb{R} $, orice vecinătate a lui $ 0 $ conține un interval deschis de forma

$$ (-\epsilon, \epsilon) $$

unde $ \epsilon > 0 $.

Trebuie să găsim un număr întreg $ N \in \mathbb{N} $ astfel încât, pentru orice $ n \geq N $, termenul $ \frac{1}{n} $ să aparțină intervalului $ (-\epsilon, \epsilon) $.

Dat fiind $ \epsilon > 0 $, este suficient să alegem

$$ N = \left\lceil \frac{1}{\epsilon} \right\rceil $$

Atunci, pentru orice $ n \geq N $, rezultă

$$ n \geq \frac{1}{\epsilon} \quad \Rightarrow \quad \frac{1}{n} \leq \epsilon $$

de unde obținem

$$ \left| \frac{1}{n} \right| < \epsilon \quad \text{pentru orice } n \geq N $$

Prin urmare, pentru orice vecinătate $ U $ a lui $ 0 $, există un indice $ N $ astfel încât toți termenii șirului cu indice mai mare sau egal cu $ N $ aparțin lui $ U $.

În consecință,

$$ \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} = 0 $$

Am demonstrat astfel că $ 0 $ este limita șirului $ \left( \frac{1}{n} \right) $.

$$ \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} = 0 $$

Intuitiv, șirul $ \frac{1}{n} $ converge către zero deoarece termenii săi devin din ce în ce mai mici și, de la un anumit punct încolo, rămân în interiorul oricărei vecinătăți a lui zero.

Tabelul următor prezintă primii zece termeni ai șirului:

$$ \begin{array}{|c|c|} \hline n & \frac{1}{n} \\ \hline 1 & 1 \\ 2 & 0.5 \\ 3 & 0.333 \\ 4 & 0.25 \\ 5 & 0.2 \\ 6 & 0.167 \\ 7 & 0.143 \\ 8 & 0.125 \\ 9 & 0.111 \\ 10 & 0.1 \\ \hline \end{array} $$

De exemplu, dacă alegem $ N = 5 $, atunci $ x_5 = \frac{1}{5} = 0.2 $. Pentru orice $ n > 5 $, termenii șirului aparțin vecinătății $ U = (0, 0.2) $.

exemplu de convergență a șirului 1/n către zero într-un spațiu topologic

Același lucru se întâmplă pentru orice altă alegere a lui $ N $.

De exemplu, dacă alegem $ N = 10 $, atunci $ x_{10} = 0.1 $. Pentru orice $ n > 10 $, termenii șirului se află în vecinătatea $ U = (0, 0.1) $.

reprezentare grafică a convergenței șirului 1/n către zero

Prin urmare, putem concluziona că $ 0 $ este limita șirului.