Teorema privind interiorul produsului cartezian
Fie \(A\) și \(B\) două mulțimi incluse respectiv în spațiile topologice \(X\) și \(Y\). Interiorul produsului lor cartezian \(A \times B\) coincide cu produsul interioarelor celor două mulțimi. Cu alte cuvinte :
$$ \text{Int}(A \times B) = \text{Int}(A) \times \text{Int}(B) $$
Această proprietate apare în mod natural atunci când studiem produsul a două spații topologice, mai ales în cazul în care \(A\) și \(B\) sunt mulțimi deschise.
Ideea de bază este foarte intuitivă. Dacă luăm două mulțimi \(A\) și \(B\) din spațiile topologice \(X\) și \(Y\), interiorul produsului lor cartezian se obține pur și simplu combinând interioarele celor două mulțimi.
Un exemplu concret
Să considerăm spațiile topologice \(X = \mathbb{R}\) și \(Y = \mathbb{R}\), precum și submulțimile
$$ A = (0,2) \qquad B = (1,3) $$
Ambele sunt intervale deschise ale dreptei reale \(\mathbb{R}\).
Determinăm mai întâi interiorul fiecărei mulțimi.
Pentru \(A\) avem :
$$ \text{Int}(A) = (0,2) $$
deoarece \(A\) este deja o mulțime deschisă.
În mod similar :
$$ \text{Int}(B) = (1,3) $$
Calculăm acum produsul interioarelor :
$$ \text{Int}(A) \times \text{Int}(B) = (0,2) \times (1,3) $$
Această mulțime este formată din toate perechile \((x,y)\) pentru care
$$ x \in (0,2), \qquad y \in (1,3) $$
adică
$$ \{(x,y) \mid x \in (0,2),\ y \in (1,3)\} $$
Din punct de vedere geometric, obținem un dreptunghi deschis în planul \(\mathbb{R}^2\), delimitat de punctele \((0,1)\), \((0,3)\), \((2,1)\) și \((2,3)\).
Să calculăm acum interiorul produsului cartezian
$$ A \times B = (0,2) \times (1,3) $$
Rezultatul este exact aceeași mulțime, adică același dreptunghi deschis din planul \(\mathbb{R}^2\).
Prin urmare
$$ \text{Int}(A \times B) = (0,2) \times (1,3) $$
și deci
$$ \text{Int}(A \times B) = \text{Int}(A) \times \text{Int}(B) $$
Exemplul confirmă în mod clar afirmația teoremei.
Demonstrație
Demonstrația se bazează pe o idee clasică din teoria mulțimilor: demonstrăm două incluziuni opuse. Dacă fiecare mulțime este inclusă în cealaltă, atunci ele sunt egale.
1] Produsul interioarelor este conținut în interiorul produsului
Trebuie să demonstrăm că
$$ \text{Int}(A) \times \text{Int}(B) \subseteq \text{Int}(A \times B) $$
Luăm un punct \((x,y)\) astfel încât
$$ x \in \text{Int}(A), \qquad y \in \text{Int}(B) $$
Deoarece \(x\) este un punct interior al lui \(A\), există un deschis \(U \subseteq X\) cu
$$ x \in U \subseteq A $$
În mod analog, deoarece \(y \in \text{Int}(B)\), există un deschis \(V \subseteq Y\) cu
$$ y \in V \subseteq B $$
Produsul
$$ U \times V $$
este un deschis în \(X \times Y\) care conține punctul \((x,y)\), iar în același timp
$$ U \times V \subseteq A \times B $$
Prin urmare, \((x,y)\) este un punct interior al lui \(A \times B\). Rezultă astfel
$$ \text{Int}(A) \times \text{Int}(B) \subseteq \text{Int}(A \times B) $$
2] Interiorul produsului este conținut în produsul interioarelor
Demonstrăm acum incluziunea inversă
$$ \text{Int}(A \times B) \subseteq \text{Int}(A) \times \text{Int}(B) $$
Fie \((x,y) \in \text{Int}(A \times B)\).
Prin definiția interiorului, există un deschis
$$ W \subseteq X \times Y $$
astfel încât
$$ (x,y) \in W \subseteq A \times B $$
În topologia produs, o bază a mulțimilor deschise este formată din produse de forma
$$ U \times V $$
unde \(U\) și \(V\) sunt deschise în \(X\), respectiv \(Y\), și
$$ (x,y) \in U \times V \subseteq W $$
Din faptul că
$$ U \times V \subseteq A \times B $$
rezultă
$$ U \subseteq A \qquad \text{și} \qquad V \subseteq B $$
Prin urmare
$$ x \in \text{Int}(A), \qquad y \in \text{Int}(B) $$
de unde rezultă
$$ (x,y) \in \text{Int}(A) \times \text{Int}(B) $$
și deci
$$ \text{Int}(A \times B) \subseteq \text{Int}(A) \times \text{Int}(B) $$
3] Concluzie
Am demonstrat ambele incluziuni :
$$ \text{Int}(A) \times \text{Int}(B) \subseteq \text{Int}(A \times B) $$
$$ \text{Int}(A \times B) \subseteq \text{Int}(A) \times \text{Int}(B) $$
Prin urmare
$$ \text{Int}(A \times B) = \text{Int}(A) \times \text{Int}(B) $$
Demonstrația teoremei este astfel completă.
