Teorema subspațiului pentru produsul spațiilor topologice

Fie \(A\) și \(B\) două submulțimi ale spațiilor topologice \(X\) și \(Y\), $$ A \subset X $$ $$ B \subset Y $$ atunci topologia definită pe produsul \(A \times B\), privit ca subspațiu al lui \(X \times Y\), coincide cu topologia produs construită pe \(A \times B\) pornind de la topologiile induse pe \(A\) și \(B\) de către spațiile \(X\) și \(Y\): $$ \quad \tau_{A \times B}^{\text{sub}} = \tau_A^{\text{sub}} \times \tau_B^{\text{sub}} $$

În această formulare, \(\tau_{A \times B}^{\text{sub}}\) reprezintă topologia de subspațiu pe \(A \times B\) indusă de topologia produs a spațiului \(X \times Y\).

În același timp, \(\tau_A^{\text{sub}}\) și \(\tau_B^{\text{sub}}\) sunt topologiile de subspațiu pe mulțimile \(A\) și \(B\), moștenite respectiv de la spațiile topologice \(X\) și \(Y\).

Teorema afirmă că aceste două moduri de construcție conduc la aceeași topologie pe \(A \times B\).

Cu alte cuvinte, nu contează dacă privim mai întâi produsul \(X \times Y\) și apoi restrângem topologia la \(A \times B\), sau dacă construim produsul folosind direct topologiile induse pe \(A\) și \(B\). Rezultatul este identic.

Prin urmare, structura topologică obținută pe \(A \times B\) este aceeași, indiferent de metoda folosită pentru a o defini.

Un exemplu concret

Pentru a înțelege mai clar ideea teoremei, să analizăm un exemplu simplu.

Considerăm două spații topologice \(X\) și \(Y\). Putem imagina planul cartezian, unde \(X\) reprezintă axa absciselor, iar \(Y\) axa ordonatelor.

Fie \(A \subseteq X\) și \(B \subseteq Y\) două submulțimi ale acestor spații.

De exemplu, alegem \(A = [1, 2]\), un interval de pe axa \(x\), și \(B = [3, 4]\), un interval de pe axa \(y\).

Produsul cartezian \(A \times B\) conține toate perechile \((x, y)\) pentru care \(x \in A\) și \(y \in B\).

Din punct de vedere geometric, acest produs descrie un dreptunghi din plan. Laturile sale sunt paralele cu axele de coordonate, iar valorile lui \(x\) variază între 1 și 2, în timp ce valorile lui \(y\) variază între 3 și 4.

Topologia pe \(A \times B\) poate fi definită în două moduri.

1. Topologia de subspațiu
   Considerăm \(A \times B\) ca submulțime a lui \(X \times Y\), adică a întregului plan echipat cu topologia produs. În acest caz, topologia pe \(A \times B\) este cea indusă prin restrângerea topologiei lui \(X \times Y\).
2. Topologia produs
   În mod alternativ, echipăm mulțimile \(A\) și \(B\) cu topologiile pe care le moștenesc de la spațiile \(X\) și \(Y\), apoi construim topologia produs pe \(A \times B\) folosind aceste topologii induse.

Teorema afirmă că aceste două construcții duc exact la aceeași topologie pe \(A \times B\).

Astfel, indiferent de metoda aleasă, rezultatul final este aceeași structură topologică pe \(A \times B\).

Și așa mai departe...