Închiderea unei mulțimi este egală cu reuniunea dintre aceasta și mulțimea punctelor sale de acumulare
Într-un spațiu topologic \( X \), închiderea unei mulțimi \( A \), notată \(\text{Cl}(A)\), este egală cu reuniunea dintre \( A \) și mulțimea \( A' \) a punctelor sale de acumulare: $$ \text{Cl}(A) = A \cup A' $$
Această formulare oferă una dintre cele mai clare și utile caracterizări ale noțiunii de închidere în topologie. Ea ne spune exact ce trebuie „adăugat” unei mulțimi pentru a obține închiderea sa.
Intuitiv, închiderea lui \( A \) cuprinde toate punctele care pot fi aproximate arbitrar de elemente ale lui \( A \). Cu alte cuvinte, include atât punctele din \( A \), cât și acele puncte care se află oricât de aproape de \( A \), chiar dacă nu aparțin efectiv mulțimii.
Este important de reținut că punctele de acumulare în topologie nu trebuie să fie elemente ale mulțimii inițiale.
Consecința directă a teoremei este următoarea: o mulțime \( A \) este închisă dacă și numai dacă își conține toate punctele de acumulare. $$ A \text{ este închisă } \ \Leftrightarrow \ A = A \cup A' = \text{Cl}(A) $$ Cu alte cuvinte, o mulțime este închisă dacă și numai dacă coincide cu propria sa închidere.
Exemplu ilustrativ
Să analizăm mai întâi cazul mulțimii \( A = (0, 1) \), subansamblu al lui \( \mathbb{R} \) înzestrat cu topologia uzuală.
$$ A = (0,1) $$
Această mulțime conține toate numerele reale strict cuprinse între 0 și 1.
Care sunt punctele sale de acumulare?
- Orice punct \( x \in (0,1) \) este punct de acumulare, deoarece orice vecinătate deschisă a lui \( x \) conține și alte elemente din \( A \).
- Punctul \( 0 \) este punct de acumulare, fiindcă orice interval deschis de forma \( (0, \varepsilon) \), cu \( \varepsilon > 0 \), conține elemente din \( A \).
- În mod similar, \( 1 \) este punct de acumulare, deoarece orice interval deschis care îl conține pe \( 1 \) conține și puncte din \( A \).
Rezultă că:
$$ A' = [0,1] $$
Calculăm închiderea:
$$ \text{Cl}(A) = A \cup A' = [0,1] $$
Observăm că:
$$ A \ne \text{Cl}(A) $$
Prin urmare, intervalul deschis \( (0,1) \) nu este o mulțime închisă în topologia uzuală.
Exemplul 2
Să considerăm acum mulțimea \( B = [0,1] \), în același spațiu \( \mathbb{R} \).
$$ B = [0,1] $$
Această mulțime conține toate numerele reale \( x \) pentru care \( 0 \leq x \leq 1 \).
Determinăm punctele sale de acumulare:
- Orice punct \( x \in (0,1) \) este punct de acumulare, deoarece orice vecinătate deschisă a lui \( x \) conține alte puncte din \( B \).
- Extremitățile \( 0 \) și \( 1 \) sunt și ele puncte de acumulare, deoarece orice vecinătate deschisă a acestora intersectează intervalul în puncte distincte de extremitatea considerată.
Prin urmare:
$$ B' = [0,1] $$
Calculăm închiderea:
$$ \text{Cl}(B) = B \cup B' = [0,1] \cup [0,1] = [0,1] $$
De această dată obținem:
$$ B = \text{Cl}(B) $$
Mulțimea coincide cu închiderea sa, deci \( B \) este o mulțime închisă.
Demonstrație formală
Vom arăta că pentru orice subansamblu \( A \subseteq X \) este valabilă relația:
$$ \text{Cl}(A) = A \cup A' $$
unde \( A' \) este mulțimea punctelor de acumulare ale lui \( A \).
Reamintim definițiile esențiale:
- Închiderea lui \( A \) este intersecția tuturor mulțimilor închise care conțin pe \( A \).
- Punct de acumulare: un punct \( x \in X \) este punct de acumulare al lui \( A \) dacă orice vecinătate a lui \( x \) conține cel puțin un element din \( A \setminus \{x\} \).
1] \( A \cup A' \subseteq \text{Cl}(A) \)
Deoarece \( \text{Cl}(A) \) este o mulțime închisă care conține pe \( A \), avem:
$$ A \subseteq \text{Cl}(A) $$
Fie \( x \in A' \). Orice vecinătate a lui \( x \) intersectează mulțimea \( A \setminus \{x\} \). Dacă am presupune că \( x \notin \text{Cl}(A) \), ar exista o vecinătate \( U \) a lui \( x \) cu proprietatea:
$$ U \cap \text{Cl}(A) = \emptyset $$
ceea ce ar implica:
$$ U \cap A = \emptyset $$
Contradicție cu faptul că \( x \) este punct de acumulare. Prin urmare:
$$ A' \subseteq \text{Cl}(A) $$
Deci:
$$ A \cup A' \subseteq \text{Cl}(A) $$
2] \( \text{Cl}(A) \subseteq A \cup A' \)
Fie \( x \in \text{Cl}(A) \).
Dacă \( x \in A \), atunci evident \( x \in A \cup A' \).
Dacă \( x \notin A \), faptul că \( x \in \text{Cl}(A) \) înseamnă că orice vecinătate a lui \( x \) intersectează mulțimea \( A \). Prin definiție, aceasta înseamnă că \( x \in A' \).
Rezultă:
$$ \text{Cl}(A) \subseteq A \cup A' $$
3] Concluzie
Avem simultan:
$$ A \cup A' \subseteq \text{Cl}(A) \quad \text{și} \quad \text{Cl}(A) \subseteq A \cup A' $$
Prin urmare:
$$ \text{Cl}(A) = A \cup A' $$
Demonstrația este completă.
