Caracterizarea mulțimilor închise
O mulțime \( A \) este închisă dacă și numai dacă închiderea sa coincide cu mulțimea însăși în spațiul topologic considerat : $$ A = \text{Cl}(A) $$
Exemplu concret
Pentru a înțelege mai bine această proprietate, să analizăm un exemplu simplu și familiar. Considerăm spațiul topologic \( \mathbb{R} \), echipat cu topologia uzuală, și mulțimea \( A = [0, 1] \).
Reamintim că o mulțime este închisă atunci când conține toate punctele sale de acumulare. În acest caz, fiecare punct al intervalului \( [0, 1] \), inclusiv capetele 0 și 1, este un punct de acumulare al mulțimii.
Deoarece toate aceste puncte aparțin deja mulțimii \( A \), putem concluziona imediat că \( A \) este o mulțime închisă.
Să verificăm acum explicit dacă relația \( A = \text{Cl}(A) \) este satisfăcută.
În topologia uzuală, închiderea mulțimii \( A \) nu adaugă niciun punct nou, deoarece intervalul \( [0, 1] \) conține deja toate punctele sale de acumulare :
$$ \text{Cl}(A) = [0, 1] $$
Rezultă astfel :
$$ A = \text{Cl}(A) $$
Acest exemplu arată clar că mulțimea \( A = [0, 1] \) este închisă tocmai pentru că este identică cu închiderea sa.
El oferă, totodată, o ilustrare intuitivă a caracterizării generale a mulțimilor închise.
Demonstrație
Pentru a stabili această caracterizare într-un cadru general, ne sprijinim pe câteva definiții esențiale din topologie :
- Închiderea unei mulțimi : Închiderea unei mulțimi \( A \), notată \( \text{Cl}(A) \), este formată din toate punctele lui \( A \) împreună cu punctele sale de acumulare. Mai precis : \[ \text{Cl}(A) = A \cup \{x \in X \mid \text{orice vecinătate a lui } x \text{ conține cel puțin un punct din } A \} \]
- Mulțime închisă : O mulțime \( A \) se numește închisă dacă include toate punctele sale de acumulare. Această definiție este echivalentă cu condiția \( A = \text{Cl}(A) \).
Să demonstrăm acum echivalența în ambele sensuri :
1] Dacă \( A \) este închisă, atunci \( A = \text{Cl}(A) \)
Presupunem că \( A \) este o mulțime închisă. Conform definiției, orice punct de acumulare al lui \( A \) aparține deja mulțimii \( A \).
Întrucât închiderea lui \( A \) este alcătuită din punctele lui \( A \) și din punctele sale de acumulare, nu se adaugă niciun element nou. Prin urmare :
$$ \text{Cl}(A) = A $$
Rezultă imediat :
$$ A = \text{Cl}(A) $$
2] Dacă \( A = \text{Cl}(A) \), atunci \( A \) este închisă
Să presupunem acum că \( A \) coincide cu închiderea sa. Deoarece închiderea conține, prin definiție, toate punctele de acumulare ale lui \( A \), acestea se află deja în mulțimea \( A \).
În consecință, \( A \) conține toate punctele sale de acumulare, ceea ce înseamnă că \( A \) este o mulțime închisă.
