Teorema despre compunerea funcțiilor continue
Dacă \( f : X \to Y \) și \( g : Y \to Z \) sunt două aplicații continue, atunci compunerea lor \( g \circ f : X \to Z \) este, de asemenea, continuă.
Acest rezultat este unul dintre principiile fundamentale ale analizei matematice și ale topologiei. El afirmă că proprietatea de continuitate se păstrează atunci când două funcții sunt compuse.
Mai precis, dacă avem două funcții continue:
- \( f : X \to Y \)
- \( g : Y \to Z \)
atunci funcția compusă \( g \circ f \), obținută aplicând mai întâi funcția \( f \) și apoi funcția \( g \), este și ea continuă.
Cu alte cuvinte, compunerea a două funcții continue produce întotdeauna o funcție continuă.
Exemplu ilustrativ
Să analizăm un exemplu simplu de compunere \( g \circ f(x) \), unde \( f \) este funcția aplicată prima (funcția interioară), iar \( g \) este funcția aplicată ulterior (funcția exterioară).
$$ f(x) = x^2 \quad \text{definită pe} \quad \mathbb{R} $$
$$ g(y) = \frac{y}{2} \quad \text{definită pe} \quad \mathbb{R} $$
Ambele funcții sunt continue pe mulțimea numerelor reale \( \mathbb{R} \).
Dorim să verificăm dacă funcția compusă \( g \circ f(x) \) este continuă pe \( \mathbb{R} \).
Considerăm intervalul deschis \( (-2, 2) \subset \mathbb{R} \).
Aplicând funcția \( f \), obținem:
\( f(x) = x^2 \)
Pe intervalul \( (-2,2) \), această funcție produce valori cuprinse între \( 0 \) și \( 4 \). Prin urmare, imaginea intervalului este intervalul \( (0,4) \).
Acest interval devine domeniul de intrare pentru funcția \( g \). Cu alte cuvinte, valorile generate de \( f \) se află complet în domeniul de definiție al funcției \( g \).
Aplicând funcția \( g \) asupra intervalului \( (0,4) \), obținem:
\( g(y) = \frac{y}{2} \)
Imaginea acestui interval este \( (0,2) \), care este tot un interval deschis.
Prin urmare, preimaginea intervalului \( (0,2) \) prin funcția compusă
\( g \circ f(x) = \frac{x^2}{2} \)
este, la rândul ei, un deschis.
Acest fapt arată că funcția compusă respectă condiția de continuitate pe intervalul considerat.
Același raționament poate fi aplicat oricărui deschis din \( \mathbb{R} \). Rezultă astfel că funcția \( g \circ f \) este continuă pe întregul \( \mathbb{R} \).
Demonstrație riguroasă
Să prezentăm acum demonstrația formală a teoremei, formulată în limbaj topologic.
- \( f : X \to Y \)
- \( g : Y \to Z \)
Fie \( U \subseteq Z \) un deschis. Pentru a demonstra că funcția \( g \circ f \) este continuă, trebuie să arătăm că preimaginea
\( (g \circ f)^{-1}(U) \)
este un deschis în \( X \).
Deoarece funcția \( g \) este continuă, știm că preimaginea
\( g^{-1}(U) \)
este un deschis în \( Y \).
În plus, deoarece funcția \( f \) este continuă, rezultă că preimaginea
\( f^{-1}(g^{-1}(U)) \)
este un deschis în \( X \).
Dar această mulțime coincide exact cu
\( (g \circ f)^{-1}(U) \).
Prin urmare, această mulțime este un deschis în \( X \).
Rezultă astfel că funcția compusă \( g \circ f \) satisface definiția continuității : preimaginea oricărui deschis este un deschis.
