Continuitatea aplicației de incluziune într-un spațiu topologic

Fie \( X \) un spațiu topologic și \( Y \) o submulțime a lui \( X \). Aplicația de incluziune \( f : Y \to X \) este definită prin \( f(y) = y \) pentru orice \( y \in Y \). Această aplicație este continuă.

Aplicația de incluziune este una dintre cele mai simple aplicații întâlnite în topologie. Ea asociază fiecărui element din \( Y \) exact același element, dar privit acum ca aparținând spațiului mai mare \( X \).

Cu alte cuvinte, aplicația nu modifică punctele. Ea doar le consideră în cadrul spațiului ambiant \( X \).

Din punct de vedere topologic, această aplicație este continuă.

Observație : Aplicația de incluziune nu trebuie confundată cu aplicația identitate. Deși regula de corespondență este aceeași, cele două aplicații acționează în contexte diferite. Incluziunea leagă două spații distincte (submulțimea și spațiul total), în timp ce aplicația identitate este definită pe același spațiu.

De ce este continuă ?

În topologie, o aplicație este continuă dacă imaginea reciprocă a oricărei mulțimi deschise este tot o mulțime deschisă.

Prin urmare, pentru orice mulțime deschisă \( U \subset X \), mulțimea

$$ f^{-1}(U) $$

trebuie să fie deschisă în \( Y \).

Conform definiției topologiei induse, mulțimile deschise din \( Y \) sunt exact intersecțiile dintre mulțimile deschise din \( X \) și submulțimea \( Y \).

Prin urmare, pentru aplicația de incluziune avem

$$ f^{-1}(U) = U \cap Y $$

Dacă \( U \) este deschisă în \( X \), atunci intersecția \( U \cap Y \) este, prin definiție, deschisă în \( Y \).

Rezultă imediat că aplicația de incluziune \( f \) este continuă.

Observație : Această proprietate arată clar motivul pentru care topologia indusă este definită în acest mod. Ea este construită tocmai astfel încât aplicația de incluziune să fie automat continuă.

Un exemplu concret

Să considerăm spațiul topologic \( X = \mathbb{R} \), adică dreapta reală, și submulțimea

$$ Y = (0,1) $$

intervalul deschis cuprins între 0 și 1.

Aplicația de incluziune

$$ f : Y \to X $$

este definită prin

$$ f(y) = y \quad \text{pentru orice} \quad y \in (0,1) $$

Intuitiv, aceasta înseamnă că punctele intervalului \( (0,1) \) sunt considerate ca puncte ale întregii drepte reale.

În cadrul topologiei induse, pentru orice mulțime deschisă \( U \subset X \), intersecția \( U \cap Y \) este o mulțime deschisă în \( Y \).

De exemplu, să considerăm intervalul deschis

$$ U = (-1, 0{,}5) \subset \mathbb{R} $$

dotat cu topologia uzuală.

Intersecția acestui interval cu \( Y = (0,1) \) este

$$ U \cap Y = (-1, 0{,}5) \cap (0,1) = (0,0{,}5) $$

Rezultatul este un interval deschis din \( Y \), în sensul topologiei induse.

Prin urmare, pentru orice mulțime deschisă \( U \subset X \), intersecția \( U \cap Y \) este deschisă în \( Y \). Din acest motiv, aplicația de incluziune

$$ f : Y \to X $$

este o aplicație continuă.

Același raționament se aplică în orice situație similară.