Teorema imaginii aderenței unei mulțimi printr-o aplicație continuă

Fie \( f : X \to Y \) o aplicație continuă și fie \( A \subset X \). Dacă un punct \( x \in X \) aparține aderenței lui \( A \), adică \( x \in Cl(A) \), atunci imaginea sa \( f(x) \) aparține aderenței imaginii lui \( A \), adică \( f(x) \in Cl(f(A)) \).

Cu alte cuvinte, continuitatea aplicației \( f \) păstrează relația de apropiere topologică dintre puncte și mulțimi.

Dacă un punct \( x \) este arbitrar de aproape de mulțimea \( A \), în sensul că aparține aderenței sale, atunci imaginea sa \( f(x) \) este la rândul ei arbitrar de aproape de imaginea mulțimii \( A \).

Acest rezultat exprimă o proprietate fundamentală a aplicațiilor continue: ele nu pot „separa" punctele de mulțimile de care sunt topologic apropiate.

Exemplu ilustrativ

Să considerăm aplicația continuă \( f : \mathbb{R} \to \mathbb{R} \), definită prin

$$ f(x) = x^2 $$

pe spațiul topologic \( X = \mathbb{R} \), și mulțimea

$$ A = (0,2) $$

Aderența mulțimii \( A \) este intervalul închis

$$ Cl(A) = [0,2] $$

deoarece include punctele de frontieră \( x = 0 \) și \( x = 2 \). Aceste puncte nu aparțin mulțimii \( A \), dar sunt puncte de acumulare ale acesteia.

Imaginea mulțimii \( A \) prin aplicația \( f \) este intervalul

$$ f(A) = (0,4) $$

întrucât pentru orice \( x \in (0,2) \), valoarea \( x^2 \) este strict cuprinsă între \( 0 \) și \( 4 \).

Aderența imaginii este

$$ Cl(f(A)) = [0,4] $$

Acest interval include valorile limită \( 0 \) și \( 4 \), care sunt limitele lui \( f(x) \) atunci când \( x \) tinde către \( 0 \) și către \( 2 \).

Teorema afirmă că orice punct din aderența lui \( A \) are imaginea în aderența lui \( f(A) \).

• Pentru \( x = 0 \in Cl(A) \) avem \( f(0) = 0 \in Cl(f(A)) \).
• Pentru \( x = 2 \in Cl(A) \) avem \( f(2) = 4 \in Cl(f(A)) \).
• Pentru orice \( x \in (0,2) \subset Cl(A) \) rezultă de asemenea \( f(x) \in Cl(f(A)) \).

Exemplul confirmă astfel teorema: imaginea oricărui punct din aderența lui \( A \) aparține aderenței imaginii \( f(A) \).

Demonstrație

Fie \( f : X \to Y \) o aplicație continuă, cu \( x \in X \) și \( A \subset X \).

Presupunem prin reducere la absurd că

$$ f(x) \notin Cl(f(A)) $$

Prin definiția aderenței, există o mulțime deschisă \( B \subseteq Y \) astfel încât

\( f(x) \in B \) și \( B \cap f(A) = \emptyset \).

Cu alte cuvinte, există o vecinătate a lui \( f(x) \) care nu intersectează imaginea mulțimii \( A \). Aceasta înseamnă că \( f(x) \) nu este aderent la \( f(A) \).

Deoarece \( f \) este continuă, imaginea reciprocă a mulțimii deschise \( B \) este o mulțime deschisă din \( X \):

$$ f^{-1}(B) $$

Această mulțime conține punctul \( x \).

În plus, din condiția

$$ B \cap f(A) = \emptyset $$

rezultă că

$$ f^{-1}(B) \cap A = \emptyset $$

Prin urmare, există o mulțime deschisă din \( X \) care îl conține pe \( x \) și care nu intersectează mulțimea \( A \).

Aceasta contrazice ipoteza că \( x \in Cl(A) \), deoarece un punct din aderența unei mulțimi trebuie să fie arbitrar de aproape de acea mulțime.

Rezultă astfel că ipoteza inițială este falsă și că

$$ x \in Cl(A) \Rightarrow f(x) \in Cl(f(A)) $$

Observație : Demonstrația se bazează pe proprietatea fundamentală a aplicațiilor continue, potrivit căreia imaginea reciprocă a unei mulțimi deschise este tot o mulțime deschisă. Această proprietate permite transferul relațiilor topologice dintre spații prin intermediul funcției.

Astfel se încheie demonstrația.