O funcție continuă nu este neapărat o funcție deschisă

O funcție continuă \( f : X \to Y \) nu transformă, în mod necesar, mulțimile deschise din \( X \) în mulțimi deschise din \( Y \).

În topologie, continuitatea unei funcții nu înseamnă că aceasta păstrează mulțimile deschise. Această proprietate aparține unei alte categorii de funcții, numite funcții deschise.

Prin urmare, este important de reținut că o funcție continuă nu este neapărat o funcție deschisă.

Ce este o funcție deschisă ? O funcție deschisă \( f : X \to Y \) este o funcție care trimite orice mulțime deschisă din \( X \) într-o mulțime deschisă din \( Y \).

Cu alte cuvinte, faptul că o funcție este continuă nu garantează că imaginea unei mulțimi deschise din domeniu va fi, la rândul ei, o mulțime deschisă în codomeniu.

Un exemplu concret

Să analizăm funcția \( f(x) = x^2 \), care este continuă pe \( \mathbb{R} \).

Considerăm mulțimea deschisă \( (-2, 2) \subset \mathbb{R} \), care conține toate numerele reale strict cuprinse între \( -2 \) și \( 2 \).

Aplicăm funcția \( f(x) = x^2 \) elementelor acestei mulțimi.

$$ f(-2) = (-2)^2 = 4 \\ f(0) = 0^2 = 0 \\ f(2) = 2^2 = 4 $$

Imaginea mulțimii \( (-2, 2) \) prin funcția \( f(x) = x^2 \) este intervalul \( [0, 4) \).

Acest interval nu este o mulțime deschisă în \( \mathbb{R} \).

Motivul este simplu. Deși \( 0 \) aparține imaginii, nu există niciun vecinătate a lui \( 0 \) care să fie inclusă complet în intervalul \( [0, 4) \). Numerele negative, oricât de apropiate de \( 0 \), nu aparțin intervalului. Prin urmare, \( 0 \) este o margine închisă.

Acest exemplu arată clar că o funcție poate fi continuă fără să transforme o mulțime deschisă într-o altă mulțime deschisă.

Chiar dacă \( f(x) = x^2 \) este continuă pe întregul \( \mathbb{R} \), ea nu este o funcție deschisă.

Diferența dintre funcțiile continue și funcțiile deschise

Noțiunile de continuitate și de deschidere descriu două comportamente diferite ale funcțiilor față de mulțimile deschise.

• Funcție continuă (în sens topologic)
  O funcție \( f : X \to Y \) este continuă dacă preimaginea oricărei mulțimi deschise din \( Y \) este o mulțime deschisă în \( X \). Cu alte cuvinte, pentru orice mulțime deschisă \( U \subset Y \), mulțimea \( f^{-1}(U) \) trebuie să fie deschisă în \( X \).

  Continuitatea descrie ce se întâmplă atunci când „aducem înapoi” o mulțime deschisă din codomeniu. Dacă funcția este continuă, această operație produce întotdeauna o mulțime deschisă în domeniu.

• Funcții deschise
  O funcție \( f : X \to Y \) se numește deschisă dacă trimite fiecare mulțime deschisă din \( X \) într-o mulțime deschisă din \( Y \). Cu alte cuvinte, pentru orice mulțime deschisă \( V \subset X \), imaginea \( f(V) \) trebuie să fie o mulțime deschisă în \( Y \).

  Proprietatea de deschidere privește comportamentul direct al mulțimilor deschise din domeniu. Ea cere ca imaginea lor prin funcție să rămână o mulțime deschisă în codomeniu.

Pe scurt, cele două proprietăți acționează în direcții opuse.

Continuitatea privește preimaginile mulțimilor deschise, în timp ce proprietatea de deschidere privește imaginile directe ale mulțimilor deschise.

Din acest motiv, o funcție poate fi continuă fără să fie deschisă, iar cele două concepte trebuie întotdeauna distinse.

Și așa mai departe.