Funcțiile continue și conservarea convergenței șirurilor

Fie $ f : X \to Y $ o funcție continuă și $ (x_n) $ un șir de puncte din $ X $ care converge către un punct $ x $. Atunci șirul imaginilor $ f(x_1), f(x_2), \dots $ converge către $ f(x) $ în $ Y $.

Acest rezultat exprimă o idee esențială: funcțiile continue nu „rup" convergența. Dacă un șir se apropie de un punct, atunci și imaginile sale printr-o funcție continuă se vor apropia de imaginea acelui punct.

Cu alte cuvinte, comportamentul de limită este păstrat atunci când aplicăm o funcție continuă.

Exemplu ilustrativ
Demonstrație

Exemplu ilustrativ

Considerăm funcția liniară $ f : \mathbb{R} \to \mathbb{R} $, definită prin $ f(x) = 2x $, și șirul $ x_n = \frac{1}{n} $, unde $ n \in \mathbb{N} $.

Se știe că șirul $ (x_n) $ converge către $ 0 $ atunci când $ n \to \infty $.

Primii termeni sunt:

$ x_1 = 1 $, $ x_2 = \frac{1}{2} $, $ x_3 = \frac{1}{3} $, etc.

Pe măsură ce $ n $ crește, valorile lui $ x_n $ devin din ce în ce mai mici și se apropie de zero.

Aplicăm acum funcția $ f $ fiecărui termen:

$$ f(x_1) = 2 $$

$$ f(x_2) = 1 $$

$$ f(x_3) = \frac{2}{3} $$

$$ \dots $$

Obținem șirul $ f(x_n) = 2x_n $, adică:

$ 2, 1, \frac{2}{3}, \dots $

Acest nou șir converge tot către $ 0 $.

Într-adevăr, avem:

$ f(x_n) \to f(0) = 0 $

Exemplul confirmă exact afirmația teoremei: funcția continuă a păstrat convergența șirului inițial.

Demonstrație

Demonstrăm că $ f(x_n) \to f(x) $, presupunând că $ f $ este continuă și că $ x_n \to x $.

Ideea demonstrației este următoarea: orice vecinătate a lui $ f(x) $ trebuie să conțină, de la un anumit moment încolo, toate valorile $ f(x_n) $.

Continuitatea funcției ne permite să transferăm această proprietate de la $ Y $ la $ X $.

Pasul 1: Alegerea unei vecinătăți

Fie $ U $ o vecinătate deschisă a lui $ f(x) $ în $ Y $.

Trebuie să arătăm că există un indice $ N $ astfel încât, pentru orice $ n \geq N $, să avem $ f(x_n) \in U $.

Pasul 2: Trecerea înapoi prin funcție

Deoarece $ f $ este continuă, mulțimea $ f^{-1}(U) $ este un deschis în $ X $.

În plus, pentru că $ f(x) \in U $, rezultă că $ x \in f^{-1}(U) $.

Pasul 3: Folosirea convergenței

Știm că $ x_n \to x $. Prin definiția convergenței, pentru orice vecinătate a lui $ x $, există un rang $ N $ astfel încât $ x_n $ aparține acelei vecinătăți pentru toate valorile $ n \geq N $.

Aplicăm acest fapt pentru vecinătatea $ f^{-1}(U) $. Obținem că există $ N $ astfel încât:

$ x_n \in f^{-1}(U) $, pentru orice $ n \geq N $.

Pasul 4: Concluzia

Din definiția preimaginii rezultă imediat că:

$ f(x_n) \in U $, pentru orice $ n \geq N $.

Așadar, $ f(x_n) \to f(x) $, ceea ce încheie demonstrația.

Am arătat astfel că funcțiile continue conservă limita șirurilor: dacă $ x_n \to x $, atunci $ f(x_n) \to f(x) $.