Caracterizarea continuității prin mulțimi închise

Fie două spații topologice \( X \) și \( Y \). O aplicație \( f : X \to Y \) este continuă dacă și numai dacă imaginea reciprocă a oricărei mulțimi închise \( C \subseteq Y \) este o mulțime închisă în \( X \).

Această teoremă oferă o modalitate alternativă de a descrie continuitatea funcțiilor între spații topologice.

În mod obișnuit, continuitatea este definită astfel: o funcție este continuă dacă imaginea reciprocă a oricărei mulțimi deschise din \( Y \) este o mulțime deschisă în \( X \).

Rezultatul de mai sus arată însă că aceeași proprietate poate fi formulată și în termenii mulțimilor închise. Cu alte cuvinte, o aplicație \( f : X \to Y \) este continuă dacă pentru orice mulțime închisă \( C \subseteq Y \), imaginea reciprocă \( f^{-1}(C) \) este o mulțime închisă în \( X \).

Observație : Această formulare scoate în evidență relația de dualitate dintre mulțimile deschise și cele închise. Într-adevăr, orice mulțime închisă este complementul unei mulțimi deschise, iar orice mulțime deschisă este complementul unei mulțimi închise.

Un exemplu concret

Să analizăm funcția \( f : \mathbb{R} \to \mathbb{R} \), definită prin

$$ f(x) = x^2 $$

Considerăm pe \( \mathbb{R} \) topologia uzuală, în care mulțimile deschise sunt intervale deschise sau reuniuni de astfel de intervale.

Vrem să verificăm că imaginea reciprocă a unei mulțimi închise din \( Y \) este o mulțime închisă în \( X \).

Luăm, de exemplu, mulțimea închisă

$$ C = [1, +\infty) \subseteq Y $$

Aceasta este o mulțime închisă deoarece conține limita sa inferioară.

Imaginea reciprocă a lui \( C \) prin funcția \( f \) este

$$ f^{-1}(C) = \{ x \in \mathbb{R} : x^2 \in [1, +\infty) \} $$

Rezolvând condiția \( x^2 \ge 1 \), obținem

$$ f^{-1}(C) = (-\infty, -1] \cup [1, +\infty) $$

Această mulțime este închisă în \( \mathbb{R} \), deoarece este reuniunea a două mulțimi închise.

Prin urmare, imaginea reciprocă a mulțimii închise \( [1, +\infty) \) este la rândul ei o mulțime închisă. Condiția teoremei este astfel satisfăcută.

Aplicând același raționament pentru orice mulțime închisă din \( Y \), concluzionăm că funcția \( f(x) = x^2 \) este continuă.

Demonstrație

Demonstrația se realizează în două etape. Mai întâi arătăm că continuitatea implică proprietatea privind mulțimile închise. Apoi demonstrăm reciproca.

1] (⇒) Dacă \( f \) este continuă, atunci imaginea reciprocă a oricărei mulțimi închise este închisă :

Prin definiție, dacă \( f \) este continuă, atunci pentru orice mulțime deschisă din \( Y \), imaginea reciprocă este o mulțime deschisă în \( X \).

Fie \( C \subseteq Y \) o mulțime închisă. Complementul său \( Y \setminus C \) este o mulțime deschisă în \( Y \).

Deoarece \( f \) este continuă, imaginea reciprocă \( f^{-1}(Y \setminus C) \) este o mulțime deschisă în \( X \).

Observăm că

$$ f^{-1}(Y \setminus C) = X \setminus f^{-1}(C) $$

Prin urmare, dacă \( X \setminus f^{-1}(C) \) este deschisă, atunci \( f^{-1}(C) \) este o mulțime închisă în \( X \).

Rezultă că imaginea reciprocă a oricărei mulțimi închise este închisă.

2] (⇐) Dacă imaginea reciprocă a oricărei mulțimi închise este închisă, atunci \( f \) este continuă :

Presupunem că pentru orice mulțime închisă \( C \subseteq Y \), mulțimea \( f^{-1}(C) \) este închisă în \( X \).

Fie \( U \subseteq Y \) o mulțime deschisă. Complementul său \( Y \setminus U \) este o mulțime închisă.

Prin ipoteză, \( f^{-1}(Y \setminus U) \) este o mulțime închisă în \( X \).

Dar

$$ f^{-1}(Y \setminus U) = X \setminus f^{-1}(U) $$

Prin urmare, \( f^{-1}(U) \) este o mulțime deschisă în \( X \).

Rezultă că \( f \) este continuă.

3] Concluzie

Am demonstrat ambele implicații. În concluzie, o aplicație \( f : X \to Y \) este continuă dacă și numai dacă imaginea reciprocă a oricărei mulțimi închise din \( Y \) este o mulțime închisă în \( X \).

Astfel, demonstrația este completă.