Lema de alipire

Fie \( X \) un spațiu topologic și fie \( A \) și \( B \) două submulțimi închise ale lui \( X \) a căror reuniune acoperă întregul spațiu, adică \( A \cup B = X \). Dacă aplicațiile \( f : A \to Y \) și \( g : B \to Y \) sunt continue către un spațiu topologic \( Y \) și coincid pe intersecția \( A \cap B \), adică \( f(x) = g(x) \) pentru orice \( x \in A \cap B \), atunci funcția \( h : X \to Y \) definită prin : $$ h(x) = \begin{cases} f(x) & \text{dacă } x \in A, \\ g(x) & \text{dacă } x \in B, \end{cases} $$ este continuă.

Ideea din spatele acestei leme este foarte intuitivă. Dacă avem două funcții continue definite pe două părți ale aceluiași spațiu și aceste funcții dau același rezultat în punctele unde domeniile lor se suprapun, atunci ele pot fi „alipite" pentru a obține o singură funcție continuă pe întregul domeniu.

Cu alte cuvinte, atunci când două funcții continue \( f : A \to Y \) și \( g : B \to Y \) sunt definite pe mulțimi care se suprapun și coincid pe intersecția lor, ele pot fi combinate într-o singură aplicație \( h \), continuă pe \( A \cup B \).

Un exemplu concret 

Pentru a înțelege mai bine ideea, să considerăm două funcții definite pe intervale închise:

• \( f : [0, 1] \to \mathbb{R} \), definită prin \( f(x) = x \), continuă pe intervalul \( [0, 1] \) ;
• \( g : [1, 2] \to \mathbb{R} \), definită prin \( g(x) = 2 - x \), continuă pe intervalul \( [1, 2] \).

Verificăm acum ipotezele lemei de alipire.

1. Mulțimi închise : Intervalele \( [0, 1] \) și \( [1, 2] \) sunt mulțimi închise în \( \mathbb{R} \).
2. Acoperire : Reuniunea lor este intervalul \( [0, 2] \), deci \( A \cup B = [0, 2] \).
3. Coincidență pe intersecție : Intersecția celor două intervale este \( \{1\} \). Verificăm valorile funcțiilor în acest punct:
   - \( f(1) = 1 \)
   - \( g(1) = 2 - 1 = 1 \)
   Prin urmare, \( f(1) = g(1) = 1 \). Condiția de coincidență pe \( A \cap B \) este satisfăcută.

Toate ipotezele lemei sunt deci îndeplinite.

Putem defini astfel aplicația \( h : [0, 2] \to \mathbb{R} \) prin :

$$ h(x) = \begin{cases} f(x) = x & \text{dacă } x \in [0, 1], \\ g(x) = 2 - x & \text{dacă } x \in [1, 2]. \end{cases} $$

Această funcție este continuă deoarece:

• pe intervalul \( [0,1] \), avem \( h(x) = x \), o funcție continuă;
• pe intervalul \( [1,2] \), avem \( h(x) = 2 - x \), de asemenea continuă;
• în punctul \( x = 1 \), cele două expresii coincid, deoarece \( f(1) = g(1) = 1 \).

Prin urmare, funcția rezultată \( h \) este continuă pe întreg intervalul \( [0,2] \).

Din punct de vedere geometric, graficul funcției este format din două segmente de dreaptă:

• pe \( [0,1] \), dreapta \( h(x) = x \), strict crescătoare;
• pe \( [1,2] \), dreapta \( h(x) = 2 - x \), strict descrescătoare.

Aceste două segmente se întâlnesc fără discontinuitate în punctul \( x = 1 \).

Demonstrație

Pentru a demonstra formal continuitatea funcției \( h \), folosim următorul criteriu topologic: imaginea inversă a oricărei mulțimi închise din \( Y \) prin \( h \) este o mulțime închisă în \( X \).

Cu alte cuvinte, dacă \( C \subseteq Y \) este o mulțime închisă, atunci trebuie să arătăm că \( h^{-1}(C) \) este închisă în \( X \).

Deoarece funcția \( h \) este definită pe bucăți, prin funcțiile \( f \) și \( g \), avem:

$$ h^{-1}(C) = f^{-1}(C) \cup g^{-1}(C). $$

Observăm că:

• deoarece \( f \) este continuă, mulțimea \( f^{-1}(C) \) este închisă în \( A \);
• deoarece \( g \) este continuă, mulțimea \( g^{-1}(C) \) este închisă în \( B \).

În plus, deoarece \( A \) și \( B \) sunt mulțimi închise în \( X \), orice mulțime închisă relativ în \( A \) sau în \( B \) este și închisă în \( X \).

Rezultă că atât \( f^{-1}(C) \), cât și \( g^{-1}(C) \) sunt mulțimi închise în \( X \).

Prin urmare, reuniunea lor

$$ h^{-1}(C) = f^{-1}(C) \cup g^{-1}(C) $$

este de asemenea o mulțime închisă în \( X \).

Concluzionăm că funcția \( h \) este continuă pe întreg spațiul \( X \), ceea ce demonstrează lema de alipire.