Definiția continuității prin mulțimi deschise

O funcție $ f : X \to Y $ se numește continuă dacă și numai dacă, pentru orice punct $ x \in X $ și pentru orice mulțime deschisă $ U \subset Y $ care conține valoarea $ f(x) $, există o vecinătate $ V $ a lui $ x $ astfel încât $ f(V) \subset U $.

Într-o formulare echivalentă, o funcție $ f : X \to Y $ este continuă atunci când, pentru orice mulțime deschisă $ U \subset Y $, preimaginea $ f^{-1}(U) $ este o mulțime deschisă în $ X $.

schemă care ilustrează definiția continuității prin mulțimi deschise

Cu alte cuvinte, preimaginea oricărei mulțimi deschise din codomeniu este o mulțime deschisă în domeniu.

Această proprietate oferă o interpretare topologică a continuității, bazată exclusiv pe structura mulțimilor deschise din cele două spații.

În literatura de specialitate, această formulare este cunoscută drept definiția continuității prin mulțimi deschise.

Observație : Rezultatul este adesea prezentat ca o echivalență a definițiilor continuității. El arată că definiția topologică prin mulțimi deschise este echivalentă cu definiția analitică formulată prin perechea $\varepsilon$-$\delta$. Definiția analitică se enunță astfel: „O funcție $ f $ este continuă într-un punct $ x_0 \in \mathbb{R} $ dacă, pentru orice $\varepsilon > 0$, există un $\delta > 0$ astfel încât, pentru orice $ x \in \mathbb{R} $, dacă $ |x - x_0| < \delta $, atunci $ |f(x) - f(x_0)| < \varepsilon $”. Această formulare este introdusă în mod obișnuit în cursurile de analiză matematică.

Continuitatea poate fi caracterizată și cu ajutorul mulțimilor închise: o funcție este continuă dacă preimaginea oricărei mulțimi închise este, la rândul ei, o mulțime închisă.

Mai precis, pentru o funcție $ f : X \to Y $ între spații topologice, funcția este continuă dacă și numai dacă, pentru orice mulțime închisă $ C \subset Y $, mulțimea $ f^{-1}(C) $ este închisă în $ X $.

Aceasta arată că noțiunea de continuitate poate fi exprimată atât prin mulțimi deschise, cât și prin mulțimi închise, două concepte fundamentale și complementare în topologie.

Un exemplu concret
Demonstrație

Un exemplu concret

Să analizăm funcția $ f : \mathbb{R} \to \mathbb{R} $ definită prin

$$ f(x) = x^2 $$

Vom verifica continuitatea acestei funcții folosind definiția bazată pe mulțimi deschise.

Conform definiției, funcția $ f $ este continuă dacă, pentru orice mulțime deschisă $ U \subset \mathbb{R} $ și pentru orice $ x \in f^{-1}(U) $, există o vecinătate $ V $ a lui $ x $ astfel încât $ f(V) \subset U $.

Să alegem, de exemplu, mulțimea deschisă

$$ U = (1,4) $$

care conține toate numerele reale strict cuprinse între 1 și 4.

interval deschis între 1 și 4 pe axa numerelor reale

Determinăm acum preimaginea acestei mulțimi:

$$ f^{-1}(U) $$

adică toate valorile lui $ x $ pentru care

$$ x^2 \in (1,4) $$

Rezolvăm inecuația

$$ 1 < x^2 < 4 $$

care este echivalentă cu

$$ 1 < |x| < 2 $$

Prin urmare

$$ x \in (-2,-1) \cup (1,2) $$

Această mulțime este deschisă în $ \mathbb{R} $, deci condiția din definiție este satisfăcută.

Luăm acum un punct din această mulțime, de exemplu

$$ x = 1{,}5 $$

Atunci

$$ f(1{,}5) = 2{,}25 $$

care aparține intervalului $ (1,4) $.

exemplu de verificare a continuității funcției x pătrat într-un punct

Căutăm acum o vecinătate a lui $ x = 1{,}5 $ care să rămână în interiorul mulțimii $ U $ după aplicarea funcției.

De exemplu, putem lua intervalul

$$ V = (1{,}4,1{,}6) $$

vecinătate deschisă în jurul punctului 1,5

Calculăm valorile funcției la capetele intervalului:

$$ f(1{,}4) = 1{,}96 \qquad f(1{,}6) = 2{,}56 $$

Prin urmare

$$ f(V) = (1{,}96,2{,}56) $$

și observăm că

$$ (1{,}96,2{,}56) \subset (1,4) $$

Deci $ f(V) \subset U $.

Aceasta confirmă că, pentru punctul ales, există o vecinătate a cărei imagine rămâne în interiorul lui $ U $, exact cum cere definiția continuității.

Deoarece același raționament poate fi făcut pentru orice punct din domeniu, rezultă că funcția

$$ f(x)=x^2 $$

este continuă pe întregul $ \mathbb{R} $.

Observație : Pentru ca o funcție să fie continuă, această proprietate trebuie să fie valabilă în fiecare punct al domeniului, nu doar într-un punct izolat. Continuitatea este o proprietate globală a funcției. În cazul unei funcții $ f : \mathbb{R} \to \mathbb{R} $, trebuie să arătăm că pentru orice $ x \in \mathbb{R} $ și pentru orice mulțime deschisă $ U $ care conține $ f(x) $, există o vecinătate $ V $ a lui $ x $ astfel încât $ f(V) \subset U $.

Demonstrație

Demonstrăm acum echivalența formulărilor folosind două etape.

A] Prima etapă

Presupunem că funcția $ f $ este continuă în sens topologic.

Fie $ x \in X $ și o mulțime deschisă $ U \subset Y $ cu proprietatea că

$$ f(x) \in U $$

Considerăm mulțimea

$$ V = f^{-1}(U) $$

adică mulțimea punctelor din $ X $ ale căror imagini prin $ f $ aparțin lui $ U $.

Prin definiția continuității, această mulțime $ V $ este deschisă în $ X $.

În plus, deoarece $ x \in V $ și $ f(V) \subset U $, rezultă că există o vecinătate deschisă a lui $ x $ a cărei imagine este inclusă în $ U $.

B] A doua etapă

Presupunem acum invers că pentru orice punct $ x \in X $ și pentru orice mulțime deschisă $ U \subset Y $ care conține $ f(x) $, există o vecinătate $ V $ a lui $ x $ astfel încât

$$ f(V) \subset U $$

Trebuie să demonstrăm că pentru orice mulțime deschisă $ W \subset Y $, mulțimea

$$ f^{-1}(W) $$

este deschisă în $ X $.

Fie $ x \in f^{-1}(W) $. Atunci $ f(x) \in W $.

Prin ipoteză, există o vecinătate $ V_x $ a lui $ x $ astfel încât

$$ f(V_x) \subset W $$

Rezultă imediat că

$$ V_x \subset f^{-1}(W) $$

Deci fiecare punct al mulțimii $ f^{-1}(W) $ are o vecinătate deschisă inclusă în această mulțime.

Prin definiția topologică a mulțimilor deschise, rezultă că

$$ f^{-1}(W) $$

este o mulțime deschisă în $ X $.

Concluzie

Am arătat astfel că definiția continuității formulată prin vecinătăți este echivalentă cu definiția formulată prin preimagini ale mulțimilor deschise.

Aceste două perspective descriu aceeași proprietate fundamentală a funcțiilor continue.