Intersecția finită a mulțimilor deschise în topologia quotient

Într-o topologie quotient, preimaginea unei intersecții finite de mulțimi deschise \( U_i \) coincide cu intersecția preimaginilor corespunzătoare, fiecare dintre acestea fiind deschisă în topologia inițială pe \( X \) : $$ p^{-1}\left( \bigcap U_i \right) = \bigcap p^{-1}(U_i) $$ Prin urmare, orice intersecție finită de mulțimi deschise rămâne o mulțime deschisă în topologia quotient.

Un exemplu intuitiv

Pentru a vedea concret cum funcționează această proprietate, să considerăm spațiul quotient \( A = \mathbb{R}/\mathbb{Z} \).

Acest spațiu poate fi interpretat intuitiv ca un cerc. Ideea este simplă: pornim de la mulțimea numerelor reale \( \mathbb{R} \), echipată cu topologia sa uzuală, și identificăm între ele numerele care diferă printr-un întreg.

Aplicația quotient \( p : \mathbb{R} \to \mathbb{R}/\mathbb{Z} \) asociază fiecărui număr real partea sa fracționară.

De exemplu, numerele 0{,}3, 1{,}3 și 2{,}3 sunt trimise toate în același punct 0{,}3 al cercului.

În această reprezentare, spațiul quotient poate fi identificat cu intervalul semi-deschis [0,1), unde capetele 0 și 1 sunt considerate același punct.

Să luăm acum două mulțimi deschise din spațiul quotient:

$$ U_1 = (0{,}1, 0{,}5) $$

$$ U_2 = (0{,}3, 0{,}7) $$

Aceste intervale sunt deschise în \( \mathbb{R}/\mathbb{Z} \), adică în topologia quotient.

Intersecția lor este

$$ U_1 \cap U_2 = (0{,}3, 0{,}5) $$

Rezultatul este tot un interval deschis pe cerc, deci o mulțime deschisă în spațiul quotient.

Să vedem acum ce se întâmplă cu preimaginile acestor mulțimi în \( \mathbb{R} \).

Preimaginile sunt formate dintr-o reuniune infinită de intervale deschise, distribuite periodic de-a lungul dreptei reale:

$$ p^{-1}(U_1) = \bigcup_{n \in \mathbb{Z}} (n + 0{,}1,\ n + 0{,}5) $$

$$ p^{-1}(U_2) = \bigcup_{n \in \mathbb{Z}} (n + 0{,}3,\ n + 0{,}7) $$

Dacă intersectăm aceste preimagini, obținem exact preimaginea intersecției:

$$ p^{-1}(U_1 \cap U_2) = \bigcup_{n \in \mathbb{Z}} (n + 0{,}3,\ n + 0{,}5) $$

Rezultatul este o familie infinită de intervale deschise, două câte două disjuncte, care formează o mulțime deschisă în topologia uzuală a lui \( \mathbb{R} \).

Prin urmare, deoarece preimaginea lui \( U_1 \cap U_2 \) este deschisă în \( \mathbb{R} \), rezultă că și intersecția \( U_1 \cap U_2 \) este deschisă în topologia quotient pe \( \mathbb{R}/\mathbb{Z} \).

Acest exemplu ilustrează o proprietate fundamentală a topologiilor: intersecția finită a mulțimilor deschise rămâne întotdeauna deschisă.

Același principiu se aplică, în general, oricărei familii finite de mulțimi deschise.