Teorema de comparație a topologiilor induse de metrici

Fie $d$ și $d'$ două metrici definite pe o mulțime $X$, iar $\mathcal{T}$ și $\mathcal{T}'$ topologiile induse de acestea. Spunem că topologia $\mathcal{T}'$ este mai fină decât $\mathcal{T}$ dacă și numai dacă, pentru orice $x \in X$ și orice $\varepsilon > 0$, există un $\delta > 0$ astfel încât: $$ B_{d'}(x, \delta) \subseteq B_d(x, \varepsilon) $$ unde $B_d(x, \varepsilon)$ și $B_{d'}(x, \delta)$ sunt bilele deschise, centrate în $x$, cu razele $\varepsilon$, respectiv $\delta$.

Pe scurt, dacă descriem aceeași mulțime $X$ folosind două metrici diferite, fiecare dintre ele generează propria noțiune de „mulțime deschisă”, adică propria topologie:

Topologia $\mathcal{T}$, indusă de metrica $d$;
Topologia $\mathcal{T}'$, indusă de metrica $d'$.

Teorema spune că $\mathcal{T}'$ este mai fină decât $\mathcal{T}$, adică „vede mai multe” mulțimi deschise, dacă și numai dacă fiecare mulțime deschisă din $\mathcal{T}$ conține cel puțin o mulțime deschisă din $\mathcal{T}'$.

Această idee oferă un criteriu clar și eficient pentru a compara topologii și arată cât de mult influențează alegerea metricii structura spațiului.

Un exemplu concret
Demonstrația teoremei

Un exemplu concret

Considerăm planul cartezian $X = \mathbb{R}^2$, echipat cu două metrici diferite:

Metrica euclidiană : $d((x_1, y_1), (x_2, y_2)) = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$. Bilele deschise sunt discuri de rază $\varepsilon$: $$ B_d((x, y), \varepsilon) = \{(u, v) \in \mathbb{R}^2 : \sqrt{(u - x)^2 + (v - y)^2} < \varepsilon\} $$
Metrica discretă : $d'((x_1, y_1), (x_2, y_2)) = \begin{cases} 0 & \text{dacă } (x_1, y_1) = (x_2, y_2), \\ 1 & \text{dacă } (x_1, y_1) \neq (x_2, y_2) \end{cases}$. Bilele deschise sunt: \[ B_{d'}((x, y), \delta) = \begin{cases} \{(x, y)\} & \text{dacă } \delta \leq 1, \\ X & \text{dacă } \delta > 1. \end{cases} \]

Vrem să arătăm că topologia discretă este mai fină decât cea euclidiană.

Condiția din teoremă devine:

$$ \mathcal{T}' \text{ este mai fină decât } \mathcal{T} \iff \forall x \in X, \forall \varepsilon > 0, \ \exists \ \delta > 0 \text{ astfel încât } B_{d'}(x, \delta) \subseteq B_d(x, \varepsilon) $$

Luăm un punct arbitrar $P = (x_0, y_0)$ și un $\varepsilon > 0$. În metrica euclidiană, $B_d(P, \varepsilon)$ este un disc deschis centrat în $P$.

În metrica discretă, situația este mult mai simplă:

Dacă $\delta \leq 1$, atunci $B_{d'}(P, \delta) = \{P\}$
Dacă $\delta > 1$, atunci $B_{d'}(P, \delta) = X$

Așadar, orice singleton este o mulțime deschisă.

Alegem $\delta = 1$. Atunci $B_{d'}(P, \delta) = \{P\}$. Cum $P$ aparține oricărui disc $B_d(P, \varepsilon)$, rezultă imediat:

$$ B_{d'}(P, \delta) \subseteq B_d(P, \varepsilon) $$

De exemplu, pentru punctul $P = (1, 2)$, bila euclidiană de rază $\varepsilon = 0{,}4$ este un disc deschis în jurul lui $P$.
disc deschis în metrica euclidiană și singleton în topologia discretă
În topologia discretă, mulțimea $\{P\}$ este deschisă prin definiție și este inclusă în acest disc. Același raționament funcționează pentru orice punct din plan.

Prin urmare, orice mulțime deschisă în topologia euclidiană conține cel puțin o mulțime deschisă în topologia discretă. Concluzia este că topologia discretă ($\mathcal{T}'$) este mai fină decât topologia euclidiană ($\mathcal{T}$).

Demonstrația teoremei

Demonstrația se bazează pe echivalența dintre două afirmații:

Dacă $\mathcal{T}'$ este mai fină decât $\mathcal{T}$, atunci pentru orice $x$ și orice $\varepsilon > 0$, există $\delta > 0$ astfel încât $B_{d'}(x, \delta) \subseteq B_d(x, \varepsilon)$.
Reciproc, dacă această incluziune este valabilă pentru toate punctele și toate razele, atunci $\mathcal{T}'$ este mai fină decât $\mathcal{T}$.

A] Prima implicație

Dacă $\mathcal{T}'$ este mai fină, atunci orice mulțime deschisă din $\mathcal{T}$ este deschisă și în $\mathcal{T}'$.
În special, fiecare bilă $B_d(x, \varepsilon)$ este deschisă în $\mathcal{T}'$.
Prin definiția deschiderii, ea conține o bilă $B_{d'}(x, \delta)$.
Rezultă că $B_{d'}(x, \delta) \subseteq B_d(x, \varepsilon)$.

B] A doua implicație

Fie $U$ o mulțime deschisă în $\mathcal{T}$.
Atunci pentru fiecare punct $x \in U$ există o bilă $B_d(x, \varepsilon)$ inclusă în $U$.
Prin ipoteză, există $\delta > 0$ astfel încât $B_{d'}(x, \delta) \subseteq B_d(x, \varepsilon)$.
Deci $B_{d'}(x, \delta) \subseteq U$, ceea ce arată că $U$ este deschis și în $\mathcal{T}'$.

Prin urmare, cele două afirmații sunt echivalente, iar demonstrația este completă.