Orice spațiu metric este un spațiu Hausdorff

Orice spațiu metric verifică proprietatea lui Hausdorff. În schimb, dacă un spațiu topologic nu are această proprietate, atunci nu poate fi generat de nicio metrică.

A spune că un spațiu Hausdorff este un spațiu în care orice două puncte distincte pot fi separate prin mulțimi deschise disjuncte.

Pe scurt, într-un spațiu în care există o noțiune de distanță, putem „separa" întotdeauna două puncte diferite prin două regiuni deschise care nu se intersectează.

Observație : Proprietatea lui Hausdorff trebuie să fie satisfăcută pentru fiecare pereche de puncte distincte, fără nicio excepție.

Un exemplu concret

Luăm în considerare planul euclidian \(\mathbb{R}^2\), înzestrat cu distanța euclidiană dintre două puncte \(x = (x_1, x_2)\) și \(y = (y_1, y_2)\), definită prin:

$$ d(x, y) = \sqrt{(x_1 - y_1)^2 + (x_2 - y_2)^2}. $$

Cu această definiție a distanței, \(\mathbb{R}^2\) este un spațiu metric.

Un fapt fundamental este că în orice spațiu metric, și deci și în \(\mathbb{R}^2\), proprietatea lui Hausdorff este automat verificată: două puncte distincte pot fi întotdeauna separate prin mulțimi deschise disjuncte.

Fie \(A = (x_1, y_1)\) și \(B = (x_2, y_2)\) două puncte din plan, cu \(A \neq B\).

Distanța dintre ele este strict pozitivă:

$$ d(A, B) > 0 $$

Alegem o rază mai mică decât jumătate din această distanță:

$$ r = \frac{d(A, B)}{2} $$

Construim două bile deschise de rază \(r\), centrate în cele două puncte:

• \(U = \{ P \in \mathbb{R}^2 \mid d(P, A) < r \}\),
• \(V = \{ P \in \mathbb{R}^2 \mid d(P, B) < r \}\).

Aceste două mulțimi sunt disjuncte:

$$ U \cap V = \varnothing $$

Intuitiv, punctele din \(U\) sunt „mai aproape" de \(A\) decât de \(B\), iar punctele din \(V\) sunt mai aproape de \(B\) decât de \(A\). De aceea, nu pot exista puncte comune.

Acest raționament este valabil pentru orice pereche de puncte distincte. Prin urmare, \(\mathbb{R}^2\), înzestrat cu metrica euclidiană, este un spațiu Hausdorff.

Exemplul 2

Analizăm acum un caz diferit: \(\mathbb{R}\) cu topologia complementului finit.

În această topologie, o mulțime \(U \subseteq \mathbb{R}\) este deschisă dacă este vidă sau dacă complementul ei \(\mathbb{R} \setminus U\) este finit.

Asta înseamnă că orice mulțime deschisă conține „aproape toate" numerele reale, lipsind doar un număr finit de puncte.

Fie \(x\) și \(y\) două puncte distincte din \(\mathbb{R}\).

Încercăm să le separăm prin două mulțimi deschise disjuncte \(U\) și \(V\).

Dacă \(U\) conține punctul \(x\), atunci trebuie să conțină aproape toate numerele reale. Același lucru este valabil pentru \(V\), care îl conține pe \(y\).

Prin urmare, intersecția lor conține o infinitate de puncte, deci:

U \cap V \neq \varnothing

Separarea este imposibilă.

Concluzia este clară: spațiul \((\mathbb{R}, \text{topologia complementului finit})\) nu este Hausdorff.

În consecință, nu poate proveni dintr-o metrică.

Demonstrația generală

Fie \(x\) și \(y\) două puncte distincte într-un spațiu metric \((X, d)\).

Notăm \(\varepsilon = d(x, y) > 0\).

Construim două bile deschise de rază \(\varepsilon / 2\):

• \(U = \{ z \in X \mid d(x, z) < \varepsilon / 2 \}\),
• \(V = \{ z \in X \mid d(y, z) < \varepsilon / 2 \}\).

Vrem să arătăm că sunt disjuncte.

Presupunem contrariul: există un punct \(z \in U \cap V\).

Atunci:

• \(d(x, z) < \varepsilon / 2\),
• \(d(z, y) < \varepsilon / 2\).

Prin inegalitatea triunghiului:

$$ d(x, y) \leq d(x, z) + d(z, y) < \frac{\varepsilon}{2} + \frac{\varepsilon}{2} = \varepsilon $$

Aceasta contrazice faptul că \(d(x, y) = \varepsilon\).

Prin urmare, \(U\) și \(V\) nu pot avea puncte comune.

Am demonstrat astfel că, în orice spațiu metric, două puncte distincte pot fi separate prin mulțimi deschise disjuncte.

Concluzie: orice spațiu metric este un spațiu Hausdorff.

Demonstrația este completă.