Jeder metrische Raum ist ein Hausdorff-Raum

Jeder metrische Raum erfüllt die Hausdorff-Eigenschaft. Umgekehrt kann ein topologischer Raum, der diese Eigenschaft nicht besitzt, nicht durch eine Metrik beschrieben werden.

Ein Hausdorff-Raum zeichnet sich dadurch aus, dass sich beliebige zwei verschiedene Punkte durch disjunkte offene Mengen voneinander trennen lassen.

Anschaulich bedeutet das: Sobald eine sinnvolle Abstandsfunktion existiert, kann man immer zwei offene Umgebungen finden, die sich nicht überschneiden und jeweils genau einen der beiden Punkte enthalten.

Hinweis : Die Hausdorff-Eigenschaft muss für jedes Paar verschiedener Punkte gelten, ohne Ausnahme.

Ein konkretes Beispiel
Allgemeiner Beweis

Ein konkretes Beispiel

Betrachten wir die euklidische Ebene $\mathbb{R}^2$ mit der üblichen Distanz zwischen zwei Punkten $x = (x_1, x_2)$ und $y = (y_1, y_2)$:

$$ d(x, y) = \sqrt{(x_1 - y_1)^2 + (x_2 - y_2)^2}. $$

Mit dieser Distanz wird $\mathbb{R}^2$ zu einem metrischen Raum.

In jedem metrischen Raum, und damit auch hier, gilt automatisch die Hausdorff-Eigenschaft. Zwei verschiedene Punkte lassen sich immer trennen.

Seien $A = (x_1, y_1)$ und $B = (x_2, y_2)$ zwei verschiedene Punkte in $\mathbb{R}^2$.

Ihr Abstand ist strikt positiv: $d(A, B) > 0$.

Wir wählen nun einen Radius, der kleiner ist als die Hälfte dieses Abstands:

$$ r = d(A, B) / 2 $$

Damit definieren wir zwei offene Kugeln:

$U = \{ P \in \mathbb{R}^2 : d(P, A) < r \}$,
$V = \{ P \in \mathbb{R}^2 : d(P, B) < r \}$.

Diese beiden offenen Mengen schneiden sich nicht:

$$ U \cap V = \varnothing $$

Warum ist das so? Jeder Punkt aus $U$ liegt näher bei $A$ als bei $B$, und umgekehrt liegt jeder Punkt aus $V$ näher bei $B$ als bei $A$.

Da dieses Argument für beliebige Punktpaare gilt, ist $\mathbb{R}^2$ mit der euklidischen Metrik ein Hausdorff-Raum.

Beispiel 2

Nun betrachten wir $\mathbb{R}$ mit der sogenannten kofiniten Topologie.

Hier ist eine Menge $U \subseteq \mathbb{R}$ genau dann offen, wenn sie leer ist oder ihr Komplement $\mathbb{R} \setminus U$ endlich ist.

Das bedeutet: Offene Mengen enthalten fast alle reellen Zahlen, bis auf endlich viele Ausnahmen.

Seien $x, y \in \mathbb{R}$ zwei verschiedene Punkte.

Versuchen wir, sie durch disjunkte offene Mengen zu trennen.

Sei $U$ eine offene Menge mit $x \in U$. Dann enthält $U$ alle reellen Zahlen bis auf endlich viele.

Ebenso sei $V$ eine offene Menge mit $y \in V$, deren Komplement ebenfalls endlich ist.

Damit enthalten sowohl $U$ als auch $V$ fast alle Punkte von $\mathbb{R}$. Ihr Durchschnitt ist daher notwendigerweise unendlich.

Eine Trennung ist also unmöglich, denn $U \cap V \neq \varnothing$.

Hinweis : Betrachten wir konkret $x = 1$ und $y = 2$. Versuchen wir, diese Punkte zu trennen.

Wähle eine offene Menge $U$, die $1$ enthält, indem du eine kleine Umgebung um $2$ ausschließt: $$ U = \mathbb{R} \setminus (2-\epsilon, 2+\epsilon) $$
Analog wähle $V$, das $2$ enthält, und schließe eine Umgebung von $1$ aus: $$ V = \mathbb{R} \setminus (1-\epsilon, 1+\epsilon) $$

Beide Mengen haben weiterhin unendlich viele gemeinsame Punkte: $$ U \cap V = \mathbb{R} \setminus \left[(2 - \epsilon, 2 + \epsilon) \cup (1 - \epsilon, 1 + \epsilon)\right] \ne \emptyset $$

Auch hier zeigt sich: Eine Trennung durch disjunkte offene Mengen ist nicht möglich.

Daraus folgt, dass der Raum $(\mathbb{R}, \text{kofinite Topologie})$ kein Hausdorff-Raum ist.

Folglich kann er nicht durch eine Metrik beschrieben werden.

Allgemeiner Beweis

Seien $x$ und $y$ zwei verschiedene Punkte in einem metrischen Raum $(X, d)$.

Da $x \ne y$, ist der Abstand $d(x, y)$ strikt positiv. Setze $\varepsilon = d(x, y)$.

Betrachte die offenen Kugeln um $x$ und $y$ mit Radius $\varepsilon / 2$:

$U = \{z \in X : d(x, z) < \varepsilon / 2\}$,
$V = \{z \in X : d(y, z) < \varepsilon / 2\}$.

Wir zeigen, dass sich diese Mengen nicht schneiden.

Angenommen, es gibt einen Punkt $z \in U \cap V$. Dann gilt:

$d(x, z) < \varepsilon / 2$,
$d(z, y) < \varepsilon / 2$.

Mit der Dreiecksungleichung folgt:

$$ d(x, y) \leq d(x, z) + d(z, y) < \varepsilon $$

Das steht im Widerspruch zu $d(x, y) = \varepsilon$.

Also können $U$ und $V$ keinen gemeinsamen Punkt besitzen.

Damit ist gezeigt: In jedem metrischen Raum lassen sich zwei verschiedene Punkte immer durch disjunkte offene Mengen trennen.

Jeder metrische Raum ist somit ein Hausdorff-Raum.

Der Beweis ist abgeschlossen.