Ejercicio sobre bases de espacios vectoriales 3
En el espacio vectorial $V = \mathbb{R}^3$, con $\dim(V) = 3$, encuentra una base que contenga a los vectores $v_1 = (3,\,-7,\,4)$ y $v_2 = (2,\,6,\,-5)$.
Solución
Dado que el espacio tiene dimensión 3:
$$ \dim(V) = 3 $$
dos vectores no son suficientes para formar una base.
Los vectores dados son:
$$ \vec{v}_1 = \begin{pmatrix} 3 \\ -7 \\ 4 \end{pmatrix}, \quad \vec{v}_2 = \begin{pmatrix} 2 \\ 6 \\ -5 \end{pmatrix} $$
Primero verificamos si son linealmente independientes. De no serlo, no sería posible construir una base que los contenga.
Dos vectores son linealmente independientes si la única solución de la ecuación
$$ k_1 \vec{v}_1 + k_2 \vec{v}_2 = \vec{0} $$
es la trivial: $k_1 = k_2 = 0$.
Sustituyendo los vectores:
$$ k_1 \begin{pmatrix} 3 \\ -7 \\ 4 \end{pmatrix} + k_2 \begin{pmatrix} 2 \\ 6 \\ -5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} $$
Se obtiene el siguiente sistema:
$$ \begin{cases} 3k_1 + 2k_2 = 0 \\ -7k_1 + 6k_2 = 0 \\ 4k_1 - 5k_2 = 0 \end{cases} $$
La solución trivial siempre existe. Para comprobar si hay otras, calculamos el rango de la matriz de coeficientes:
$$ A = \begin{pmatrix} 3 & 2 \\ -7 & 6 \\ 4 & -5 \end{pmatrix} $$
Verificación: Consideramos un menor $2 \times 2$ no nulo:
$$ \det \begin{pmatrix} 3 & 2 \\ 4 & -5 \end{pmatrix} = 3(-5) - 2(4) = -15 - 8 = -23 $$
Como $\text{rk}(A) = 2$ y el número de incógnitas es $n = 2$, el sistema solo admite la solución trivial:
$$ |S| = \infty^{n - r} = \infty^{0} = 1 $$
Por lo tanto, $\vec{v}_1$ y $\vec{v}_2$ son linealmente independientes.
Sin embargo, como el espacio es de dimensión 3, aún necesitamos un tercer vector para completar la base.
Escogemos uno sencillo de la base canónica, por ejemplo:
$$ \vec{v}_3 = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} $$
Consideramos ahora el conjunto:
$$ \{ \vec{v}_1, \vec{v}_2, \vec{v}_3 \} $$
Para comprobar que forma una base, verificamos su independencia lineal:
$$ k_1 \vec{v}_1 + k_2 \vec{v}_2 + k_3 \vec{v}_3 = \vec{0} $$
Sustituyendo los vectores:
$$ k_1 \begin{pmatrix} 3 \\ -7 \\ 4 \end{pmatrix} + k_2 \begin{pmatrix} 2 \\ 6 \\ -5 \end{pmatrix} + k_3 \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} $$
Obtenemos el sistema:
$$ \begin{cases} 3k_1 + 2k_2 + k_3 = 0 \\ -7k_1 + 6k_2 = 0 \\ 4k_1 - 5k_2 = 0 \end{cases} $$
La solución trivial existe, pero debemos verificar que sea la única. Calculamos el determinante de la matriz ampliada:
$$ A = \begin{pmatrix} 3 & 2 & 1 \\ -7 & 6 & 0 \\ 4 & -5 & 0 \end{pmatrix} $$
Verificación: El determinante es distinto de cero:
$$ \det(A) = 3 \cdot (6 \cdot 0 - 0 \cdot (-5)) - 2 \cdot (-7 \cdot 0 - 0 \cdot 4) + 1 \cdot (-7 \cdot (-5) - 6 \cdot 4) = 0 + 0 + (35 - 24) = 11 $$
Entonces, $\text{rk}(A) = 3$, y dado que $n = 3$, el sistema tiene solución única:
$$ |S| = \infty^{n - r} = \infty^0 = 1 $$
Por tanto, los vectores $\vec{v}_1$, $\vec{v}_2$ y $\vec{v}_3$ son linealmente independientes.
Al ser linealmente independientes y ser tres, forman una base de $\mathbb{R}^3$.
