Límite de una Sucesión

El límite de una sucesión cuando n→∞ se expresa como $$ \lim_{n \rightarrow \infty} a_n = l $$

Si el límite existe, se dice que la sucesión es regular.

Una sucesión regular puede clasificarse de la siguiente manera:

• divergente (o infinita) si su límite es ±∞.
• convergente si tiende a un número finito.
• infinitesimal si converge a cero.

Nota. Si una sucesión no posee límite, se denomina no regular.

Un Ejemplo Práctico

Ejemplo 1

Consideremos la siguiente sucesión, que está acotada y converge a 1:

$$ \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{n-1}{n} = 1 $$

En este caso, el límite es l = 1 y el término general es a_n = (n-1)/n.

De acuerdo con la definición del límite de una sucesión convergente, para todo ε>0 existe un valor v tal que:

$$ l - \epsilon < a_n < l + \epsilon \quad \forall n > v $$

Esta desigualdad puede escribirse de manera más concisa y equivalente:

$$ -\epsilon < a_n - l < \epsilon $$

$$ | a_n - l | < \epsilon $$

Sustituyendo l = 1 y a_n = (n-1)/n, obtenemos:

$$ \left| \frac{n-1}{n} - 1 \right| < \epsilon $$

Simplifiquemos la expresión dentro del valor absoluto:

$$ \left| \frac{n-1 - n}{n} \right| < \epsilon $$

$$ \left| \frac{-1}{n} \right| < \epsilon $$

$$ \frac{1}{n} < \epsilon $$

Despejando n:

$$ \frac{1}{\epsilon} < n $$

Esto confirma que, para todo ε>0, existe un umbral v = 1/ε a partir del cual la desigualdad se cumple para todo n.

Por lo tanto, la sucesión está acotada y converge a 1:

$$ \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{n-1}{n} = 1 $$

Nota. Esto también puede apreciarse observando los primeros términos de la sucesión: $$ a_n = 0, \frac{1}{2}, \frac{2}{3}, \frac{3}{4}, \frac{4}{5}, \dots $$ o en forma decimal: $$ a_n = 0, 0.5, 0.66, 0.75, 0.8, \dots $$

Ejemplo 2

Veamos ahora si la siguiente sucesión converge a 1:

$$ \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} = 1 $$

Aquí, l = 1 y a_n = 1/n.

$$ | a_n - l | < \epsilon $$

$$ \left| \frac{1}{n} - 1 \right| < \epsilon $$

Podemos desarrollar el valor absoluto de esta forma:

$$ 1 - \frac{1}{n} < \epsilon $$

Despejando n:

$$ - \frac{1}{n} < \epsilon - 1 $$

$$ \frac{1}{n} > 1 - \epsilon $$

Esta condición no se cumple para todo ε>0, como exige la definición de límite de una sucesión.

Ejemplo. Si tomamos ε = 1, la desigualdad se cumple para cualquier número natural n: $$ \frac{1}{n} > 0 $$ También se cumple para ε > 1. Por ejemplo, con ε = 10: $$ \frac{1}{n} > -9 $$ En cambio, si elegimos ε < 1, ya no se cumple. Por ejemplo, con ε = 1/2: $$ \frac{1}{n} > \frac{1}{2} $$ lo cual solo es cierto para n = 1, y deja de cumplirse para n = 2 o para cualquier n > 1.

Esto demuestra que la sucesión no converge a 1:

$$ \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} \ne 1 $$

Unicidad del Límite

Una sucesión convergente solo puede tener un único límite.

Es imposible que una sucesión se acerque simultáneamente a dos valores distintos.

Demostración

Supongamos, por absurdo, que una sucesión convergente tiene dos límites diferentes l₁ y l₂, con l₁ ≠ l₂.

Por definición, para todo ε>0 se cumple que:

$$ \exists v_1 \:\: \text{tal que } |a_n - l_1| < \epsilon \quad \forall n > v_1 $$

$$ \exists v_2 \:\: \text{tal que } |a_n - l_2| < \epsilon \quad \forall n > v_2 $$

Elegimos ε de la siguiente manera:

$$ \epsilon = \frac{|l_1 - l_2|}{2} $$

Entonces se tiene:

$$ 2\epsilon = |l_1 - l_2| $$

$$ \epsilon + \epsilon = |l_1 - l_2| $$

Importante. Esta igualdad es esencial, ya que será utilizada al final de la demostración.

Tomemos ahora el máximo entre v₁ y v₂:

$$ v = \max(v_1, v_2) $$

De este modo garantizamos que ambas condiciones siguen cumpliéndose:

$$ \exists v_1 \:\: \text{tal que } |a_n - l_1| < \epsilon \quad \forall n > v $$

$$ \exists v_2 \:\: \text{tal que } |a_n - l_2| < \epsilon \quad \forall n > v $$

Nota. Si n es mayor que v, entonces también lo es respecto a v₁ y v₂: $$ n > v $$ $$ v \ge v_1, v_2 $$ Por ejemplo, si v₂ > v₁, entonces v = v₂. En consecuencia, si n > v, también se cumple n > v₁, pues v₁ < v.

Sumando las dos desigualdades obtenemos:

$$ |a_n - l_1| + |a_n - l_2| < \epsilon + \epsilon $$

Importante. Esta relación será clave para concluir la demostración.

Analicemos ahora la diferencia absoluta entre los dos límites:

$$ | l_1 - l_2 | $$

Podemos sumar y restar a_n dentro del valor absoluto:

$$ | l_1 - l_2 | = | l_1 - l_2 + a_n - a_n | $$

Agrupando términos, se obtiene:

$$ | l_1 - l_2 | = | ( l_1 - a_n ) + (a_n - l_2 ) | $$

Aplicando la desigualdad triangular, resulta:

$$ | l_1 - l_2 | = | ( l_1 - a_n ) + (a_n - l_2 ) | \le | l_1 - a_n | + | a_n - l_2 | $$

Nota. Recuerda la propiedad: $$ |a + b| \le |a| + |b| $$

Podemos invertir los términos dentro de cada valor absoluto sin alterar el resultado:

$$ | l_1 - l_2 | = | ( l_1 - a_n ) + (a_n - l_2 ) | \le | a_n - l_1 | + | a_n - l_2 | $$

Nota. Sabemos que $$ |a_n - l_1| + |a_n - l_2| < \epsilon + \epsilon $$ y que $$ \epsilon + \epsilon = |l_1 - l_2| $$

De aquí se deduce:

$$ | l_1 - l_2 | < \epsilon + \epsilon $$

$$ | l_1 - l_2 | < |l_1 - l_2| $$

Lo cual es una contradicción.

Por tanto, una sucesión convergente no puede tener más de un límite.

Q.E.D.