Límite de una sucesión

El límite de una sucesión cuando n→∞ se escribe como $$ \lim_{n \rightarrow ∞} a_n = l $$

Cuando este límite existe, decimos que la sucesión es convergente. En otras palabras, sus términos se aproximan cada vez más a un valor real bien definido.

Según el valor del límite, una sucesión puede clasificarse de la siguiente manera:

• divergente hacia infinito si sus términos crecen o decrecen sin límite y el valor tiende a ±∞.
• convergente si se aproxima a un número real finito.
• infinitesimal si sus términos se acercan a cero.

Si la sucesión no se aproxima a ningún valor, ni finito ni infinito, se dice que es una sucesión divergente en sentido general, también llamada sucesión indeterminada.

Nota. El límite de una sucesión es muy similar al límite de una función, pero con una diferencia importante. En una sucesión, la variable independiente $ n $ solo toma valores naturales. Dado que los números naturales no tienen puntos de acumulación finitos en $ \mathbb{R} $, no tiene sentido estudiar qué ocurre cuando $ n $ se acerca a un número real concreto. Por esta razón, el análisis de sucesiones se centra exclusivamente en el comportamiento cuando $ n $ tiende a $ +\infty $.

Un Ejemplo Práctico

Ejemplo 1

Consideremos la siguiente sucesión, que está acotada y converge a 1:

$$ \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{n-1}{n} = 1 $$

En este caso, el límite es l = 1 y el término general es a_n = (n-1)/n.

De acuerdo con la definición del límite de una sucesión convergente, para todo ε>0 existe un valor v tal que:

$$ l - \epsilon < a_n < l + \epsilon \quad \forall n > v $$

Esta desigualdad puede escribirse de manera más concisa y equivalente:

$$ -\epsilon < a_n - l < \epsilon $$

$$ | a_n - l | < \epsilon $$

Sustituyendo l = 1 y a_n = (n-1)/n, obtenemos:

$$ \left| \frac{n-1}{n} - 1 \right| < \epsilon $$

Simplifiquemos la expresión dentro del valor absoluto:

$$ \left| \frac{n-1 - n}{n} \right| < \epsilon $$

$$ \left| \frac{-1}{n} \right| < \epsilon $$

$$ \frac{1}{n} < \epsilon $$

Despejando n:

$$ \frac{1}{\epsilon} < n $$

Esto confirma que, para todo ε>0, existe un umbral v = 1/ε a partir del cual la desigualdad se cumple para todo n.

Por lo tanto, la sucesión está acotada y converge a 1:

$$ \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{n-1}{n} = 1 $$

Nota. Esto también puede apreciarse observando los primeros términos de la sucesión: $$ a_n = 0, \frac{1}{2}, \frac{2}{3}, \frac{3}{4}, \frac{4}{5}, \dots $$ o en forma decimal: $$ a_n = 0, 0.5, 0.66, 0.75, 0.8, \dots $$

Ejemplo 2

Veamos ahora si la siguiente sucesión converge a 1:

$$ \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} = 1 $$

Aquí, l = 1 y a_n = 1/n.

$$ | a_n - l | < \epsilon $$

$$ \left| \frac{1}{n} - 1 \right| < \epsilon $$

Podemos desarrollar el valor absoluto de esta forma:

$$ 1 - \frac{1}{n} < \epsilon $$

Despejando n:

$$ - \frac{1}{n} < \epsilon - 1 $$

$$ \frac{1}{n} > 1 - \epsilon $$

Esta condición no se cumple para todo ε>0, como exige la definición de límite de una sucesión.

Ejemplo. Si tomamos ε = 1, la desigualdad se cumple para cualquier número natural n: $$ \frac{1}{n} > 0 $$ También se cumple para ε > 1. Por ejemplo, con ε = 10: $$ \frac{1}{n} > -9 $$ En cambio, si elegimos ε < 1, ya no se cumple. Por ejemplo, con ε = 1/2: $$ \frac{1}{n} > \frac{1}{2} $$ lo cual solo es cierto para n = 1, y deja de cumplirse para n = 2 o para cualquier n > 1.

Esto demuestra que la sucesión no converge a 1:

$$ \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} \ne 1 $$

Unicidad del Límite

Una sucesión convergente solo puede tener un único límite.

Es imposible que una sucesión se acerque simultáneamente a dos valores distintos.

Demostración

Supongamos, por absurdo, que una sucesión convergente tiene dos límites diferentes l₁ y l₂, con l₁ ≠ l₂.

Por definición, para todo ε>0 se cumple que:

$$ \exists v_1 \:\: \text{tal que } |a_n - l_1| < \epsilon \quad \forall n > v_1 $$

$$ \exists v_2 \:\: \text{tal que } |a_n - l_2| < \epsilon \quad \forall n > v_2 $$

Elegimos ε de la siguiente manera:

$$ \epsilon = \frac{|l_1 - l_2|}{2} $$

Entonces se tiene:

$$ 2\epsilon = |l_1 - l_2| $$

$$ \epsilon + \epsilon = |l_1 - l_2| $$

Importante. Esta igualdad es esencial, ya que será utilizada al final de la demostración.

Tomemos ahora el máximo entre v₁ y v₂:

$$ v = \max(v_1, v_2) $$

De este modo garantizamos que ambas condiciones siguen cumpliéndose:

$$ \exists v_1 \:\: \text{tal que } |a_n - l_1| < \epsilon \quad \forall n > v $$

$$ \exists v_2 \:\: \text{tal que } |a_n - l_2| < \epsilon \quad \forall n > v $$

Nota. Si n es mayor que v, entonces también lo es respecto a v₁ y v₂: $$ n > v $$ $$ v \ge v_1, v_2 $$ Por ejemplo, si v₂ > v₁, entonces v = v₂. En consecuencia, si n > v, también se cumple n > v₁, pues v₁ < v.

Sumando las dos desigualdades obtenemos:

$$ |a_n - l_1| + |a_n - l_2| < \epsilon + \epsilon $$

Importante. Esta relación será clave para concluir la demostración.

Analicemos ahora la diferencia absoluta entre los dos límites:

$$ | l_1 - l_2 | $$

Podemos sumar y restar a_n dentro del valor absoluto:

$$ | l_1 - l_2 | = | l_1 - l_2 + a_n - a_n | $$

Agrupando términos, se obtiene:

$$ | l_1 - l_2 | = | ( l_1 - a_n ) + (a_n - l_2 ) | $$

Aplicando la desigualdad triangular, resulta:

$$ | l_1 - l_2 | = | ( l_1 - a_n ) + (a_n - l_2 ) | \le | l_1 - a_n | + | a_n - l_2 | $$

Nota. Recuerda la propiedad: $$ |a + b| \le |a| + |b| $$

Podemos invertir los términos dentro de cada valor absoluto sin alterar el resultado:

$$ | l_1 - l_2 | = | ( l_1 - a_n ) + (a_n - l_2 ) | \le | a_n - l_1 | + | a_n - l_2 | $$

Nota. Sabemos que $$ |a_n - l_1| + |a_n - l_2| < \epsilon + \epsilon $$ y que $$ \epsilon + \epsilon = |l_1 - l_2| $$

De aquí se deduce:

$$ | l_1 - l_2 | < \epsilon + \epsilon $$

$$ | l_1 - l_2 | < |l_1 - l_2| $$

Lo cual es una contradicción.

Por tanto, una sucesión convergente no puede tener más de un límite.

Q.E.D.