Sucesiones en matemáticas

Una sucesión es una función que asigna a cada número natural n un número real a_n. Se trata de una lista ordenada y numerable de elementos \( a_1, a_2, \ldots, a_n \), conocidos como los términos de la sucesión. $$ \{ a_n \} = a_1, a_2, a_3, \dots, a_n $$ En este contexto, n se denomina índice de la sucesión, mientras que a_n recibe el nombre de término general o término n-ésimo.

De manera formal, una sucesión se define como una función f cuyo dominio es el conjunto de los números naturales (N) y cuyo codominio pertenece al conjunto de los números reales (R) o de los naturales (N).

$$ a: N \rightarrow R $$

Una sucesión puede contener un número finito o infinito de términos.

$$ \{ a_n \} = a_1, a_2, a_3, \dots, a_n $$

El término a_n se llama término general o término n-ésimo de la sucesión. Se pronuncia “a sub n”.

Cada término, como a₁, a₂, a₃, …, se escribe con un subíndice, colocado ligeramente más abajo y a la derecha de la letra, para indicar su posición en la lista.

Así, a₁ es el primer término de la sucesión, a₂ el segundo, y así sucesivamente.

Nota. Los subíndices de una sucesión aumentan en orden ascendente. Por lo general, una sucesión comienza en n = 1 o en n = 0, aunque también puede definirse con un índice inicial mayor.

Ejemplo de sucesión

Ejemplo 1

Consideremos la sucesión 2n:

$$ a_n = 2n $$

Sus primeros términos son:

$$ a_1 = 2 \cdot 1 = 2 \\ a_2 = 2 \cdot 2 = 4 \\ a_3 = 2 \cdot 3 = 6 \\ a_4 = 2 \cdot 4 = 8 \\ \vdots $$

Por tanto, la sucesión puede escribirse así:

$$ \{ 2n \} = 2, \; 4, \; 6, \; 8, \; \dots $$

Ejemplo 2

Consideremos ahora la sucesión n²:

$$ a_n = n^2 $$

Los primeros términos son:

$$ a_1 = 1^2 = 1 \\ a_2 = 2^2 = 4 \\ a_3 = 3^2 = 9 \\ a_4 = 4^2 = 16 \\ \vdots $$

Así, la sucesión se expresa como:

$$ \{ n^2 \} = 1, \; 4, \; 9, \; 16, \; \dots $$

Ejemplo 3

Consideremos la sucesión 1/n:

$$ a_n = \frac{1}{n} $$

Sus primeros términos son:

$$ a_1 = \frac{1}{1} = 1 \\ a_2 = \frac{1}{2} \\ a_3 = \frac{1}{3} \\ a_4 = \frac{1}{4} \\ \vdots $$

Por tanto, la sucesión puede escribirse como:

$$ \left\{ \frac{1}{n} \right\} = 1, \; \frac{1}{2}, \; \frac{1}{3}, \; \frac{1}{4}, \; \dots $$

Formas de representar una sucesión

Existen distintas maneras de representar una sucesión:

1] Enumeración

Una sucesión puede presentarse enumerando sus primeros términos - normalmente cuatro o cinco - seguidos de puntos suspensivos:

$$ 2, \; 4, \; 9, \; 16, \; \dots $$

La posición de cada término dentro de la lista indica su índice en la sucesión.

En el ejemplo anterior, 2 es el primer término, 4 el segundo, y así sucesivamente.

Nota. Como hay infinitos números naturales, resulta imposible listar todos los términos de una sucesión infinita. No obstante, los primeros suelen bastar para reconocer el patrón y deducir la fórmula del término general.

La enumeración es un método intuitivo y fácil de interpretar, pero a veces puede generar ambigüedades.

Por ejemplo, dos sucesiones distintas podrían compartir los primeros términos y diferir más adelante. ¿A cuál de ellas nos referimos entonces?

Además, los primeros valores no siempre bastan para deducir con claridad la expresión analítica que genera la sucesión.

Por esa razón, siempre que sea posible, es preferible describir una sucesión mediante una fórmula explícita.

2] Representación analítica

En este caso, la sucesión se define mediante su término general:

$$ a_n = 2n - 1 $$

Así no queda lugar para ambigüedades acerca de su comportamiento.

Nota. Sin embargo, no siempre resulta sencillo expresar una sucesión mediante una fórmula explícita.

3] Representación recursiva

Otra forma de definir una sucesión es por medio de una relación de recurrencia.

En una definición recursiva, cada término se expresa en función del anterior. Para aplicarla, se debe especificar:

• el término inicial (a₀), y
• la relación que vincula a_n con el término precedente a_n-1.

Este enfoque es especialmente útil en el estudio de sistemas complejos.

Ejemplo. Consideremos la siguiente sucesión definida recursivamente: $$ \begin{cases} a_0 = 1 \\ \\ a_n = a_{n-1} + 2 \cdot n \end{cases} $$ Sus primeros términos son: $$ a_0 = 1 $$ $$ a_1 = a_0 + 2 \cdot 1 = 1 + 2 = 3 $$ $$ a_2 = a_1 + 2 \cdot 2 = 3 + 4 = 7 $$ $$ a_3 = a_2 + 2 \cdot 3 = 7 + 6 = 13 $$ Por tanto, los primeros términos de la sucesión son: $$ 1, \; 3, \; 7, \; 13, \; \dots $$

Sucesiones y el producto cartesiano

El dominio de una sucesión se encuentra en los números naturales N (o en un subconjunto de N), mientras que su codominio S pertenece al conjunto de los números naturales o reales. De este modo, una sucesión puede interpretarse como un caso particular del producto cartesiano N×S. $$ (n, a_n) $$

El primer elemento (n) del par indica la posición del término en la sucesión.

El segundo elemento (a_n) representa el valor correspondiente al índice n.

Ejemplo

Consideremos la sucesión {a_n} = 2n:

$$ a_1 = 2 \\ a_2 = 4 \\ a_3 = 6 \\ a_4 = 8 $$

El producto cartesiano correspondiente (n, a_n) es:

$$ (1, 2) \\ (2, 4) \\ (3, 6) \\ (4, 8) $$

Al representar estos pares ordenados en un plano cartesiano, se obtiene una visualización clara de la relación entre n y a_n:

Diferencia entre conjunto y sucesión

En una sucesión, el orden de los elementos es fundamental; en un conjunto, en cambio, el orden carece de importancia.

Ejemplo

Los conjuntos A y B son iguales, ya que el orden de sus elementos no afecta su identidad:

$$ A = \{ 1, 2, 3, 4 \} $$

$$ B = \{ 3, 1, 4, 2 \} $$

En cambio, las sucesiones {a} y {b} son distintas:

$$ \{a\} = \{ 1, 2, 3, 4 \} $$

$$ \{b\} = \{ 3, 1, 4, 2 \} $$

¿Qué son las cadenas?

Una sucesión que contiene un número finito de elementos se denomina cadena.

La cantidad de elementos que contiene se llama longitud de la cadena.

Ejemplo

Si n = 4, la sucesión {a_n} = 2n se considera una cadena:

$$ a_1, a_2, a_3, a_4 = 2, 4, 6, 8 $$

La longitud de esta cadena es 4.

Y así continúa.