Sucesiones monótonas
Una sucesión se denomina monótona cuando, para todo n ∈ N, cumple alguna de las siguientes condiciones
- creciente
cada término es mayor o igual que el anterior $$ a_{n+1} \ge a_n $$ - estrictamente creciente
cada término es estrictamente mayor que el anterior $$ a_{n+1} > a_n $$ - decreciente
cada término es menor o igual que el anterior $$ a_{n+1} \le a_n $$ - estrictamente decreciente
cada término es estrictamente menor que el anterior $$ a_{n+1} < a_n $$ - constante
todos los términos son iguales $$ a_{n+1} = a_n $$
Estas definiciones pueden variar ligeramente según el manual o la tradición académica.
En muchos textos también se emplean los términos no decreciente y no creciente, que enfatizan la posibilidad de igualdad entre términos consecutivos.
Nota. Una sucesión es constante si todos sus términos coinciden $$ a_{n+1} = a_n $$ Por tanto, puede considerarse como un caso particular tanto de las sucesiones crecientes como de las decrecientes.
Ejemplos
Ejemplo 1
La sucesión
$$ a_n = \frac{1}{n} $$
es estrictamente decreciente, ya que para todo n ∈ N se cumple
$$ a_{n+1} < a_n $$
$$ \frac{1}{n+1} < \frac{1}{n} $$
Su representación gráfica se muestra a continuación.
Ejemplo 2
La sucesión
$$ a_n = \frac{n-1}{n} $$
es estrictamente creciente. En efecto, para todo n ∈ N
$$ a_{n+1} > a_n $$
Desarrollando la desigualdad:
$$ \frac{n}{n+1} > \frac{n-1}{n} $$
$$ \frac{n^2 - (n-1)(n+1)}{n(n+1)} > 0 $$
$$ \frac{1}{n(n+1)} > 0 $$
Su representación gráfica se muestra a continuación.
Teorema de la convergencia monótona
Toda sucesión monótona y acotada converge a un límite finito. En cambio, toda sucesión monótona no acotada diverge hacia \( +\infty \) o hacia \( -\infty \).
Este resultado se entiende mejor distinguiendo dos situaciones clave.
1] Sucesión monótona acotada
Si una sucesión es monótona y además está acotada, entonces necesariamente converge. En particular:
- Si es creciente y está acotada superiormente, converge a un valor finito.
- Si es decreciente y está acotada inferiormente, converge a un valor finito.
2] Sucesión monótona no acotada
Si una sucesión monótona no está acotada, entonces no puede converger. Más precisamente:
- Si es creciente y no tiene cota superior, diverge hacia \( +\infty \)
- Si es decreciente y no tiene cota inferior, diverge hacia \( -\infty \)
En síntesis, una sucesión creciente que permanece limitada por arriba converge, mientras que si crece sin límite necesariamente diverge.
Este resultado se conoce como el teorema de la convergencia monótona.
Nota. Este teorema es especialmente útil porque permite predecir el comportamiento de una sucesión sin calcular explícitamente su límite.
Ejemplo
Consideremos la sucesión
\[ a_n = 1 - \frac{1}{n} \]
Esta sucesión es creciente, ya que \( \frac{1}{n} \) es decreciente cuando \( n \to \infty \).
Además, está acotada superiormente por 1.
$$ \lim_{n \to \infty} 1 - \frac{1}{n} = 1 $$
Por tanto, la sucesión converge.
Ejemplo 2
Consideremos ahora la sucesión
\[ b_n = n \]
Se trata de una sucesión creciente que no está acotada superiormente.
\[ \lim_{n \to \infty} n = +\infty \]
Por tanto, es una sucesión divergente.
Y así sucesivamente.
