Sucesiones acotadas

Decimos que una sucesión está acotada cuando existe un número real \( M \) tal que todos sus términos cumplen: $$ |a_n| \le M $$

En otras palabras, los valores de la sucesión nunca se alejan más allá de un cierto límite, por grande que sea \( n \).

Toda sucesión que tiene un límite finito - es decir, que converge - está necesariamente acotada. Por eso, si una sucesión converge, sabemos que sus términos permanecen dentro de un rango determinado.

Ejemplo. No todas las sucesiones acotadas son convergentes. Considera la siguiente: $$ a_n = (-1)^n $$ Esta sucesión oscila indefinidamente entre -1 y +1. No converge, pero sigue siendo acotada, ya que nunca sale del intervalo \([-1, +1]\).

Demostración paso a paso

Supongamos que una sucesión \( a_n \) converge a un valor \( l \):

$$ \lim_{n \rightarrow \infty} a_n = l $$

Tomemos, por simplicidad, un valor de ε igual a 1:

$$ \epsilon = 1 $$

Según la definición de límite, existe un número natural \( v \) tal que para todo \( n > v \):

$$ |a_n - l| < 1 $$

Sumando |l| a ambos lados, obtenemos:

$$ |(a_n - l) + l| < 1 + |l| $$

Como \( a_n = (a_n - l) + l \), se deduce que:

$$ |a_n| < 1 + |l| $$

Así, los términos de la sucesión a partir de cierto punto están siempre dentro del intervalo definido por \( 1 + |l| \).

Si además consideramos los primeros términos de la sucesión, podemos definir un límite global:

$$ M = \max \{ |a_1|, |a_2|, \dots, |a_v|, 1 + |l| \} $$

Este número \( M \) es una cota superior para todos los términos de la sucesión, lo que demuestra que toda sucesión convergente es, en efecto, acotada.