Sucesiones acotadas
Una sucesión se dice acotada si existe un número real \( M > 0 \) tal que, para todo \( n \in \mathbb{N} \), se cumple \[ |a_n| \le M \]
La idea es sencilla: una sucesión es acotada cuando todos sus términos quedan dentro de un cierto "intervalo", sin crecer indefinidamente.
Esta propiedad puede describirse desde dos perspectivas complementarias.
- Una sucesión está acotada superiormente si existe un número real \( M \) tal que \[ a_n \le M \quad \text{para todo } n \] En otras palabras, ningún término supera ese valor.
- Una sucesión está acotada inferiormente si existe un número real \( m \) tal que \[ a_n \ge m \quad \text{para todo } n \] Es decir, todos los términos se mantienen por encima de un cierto nivel.
Una sucesión es acotada si y solo si está acotada tanto por arriba como por abajo.
Si no se cumple esta condición, se habla de sucesión no acotada.
Ejemplos
Ejemplo 1
Esta sucesión está acotada superiormente.
\[ a_n = \frac{1}{n} \]
Todos sus términos cumplen $ a_n \le 1 $, por lo que $ M = 1 $ actúa como cota superior.
\[ 1,\ \frac{1}{2},\ \frac{1}{3},\ \frac{1}{4},\ \dots \]
Ejemplo 2
Esta sucesión está acotada inferiormente.
\[ a_n = n \]
En este caso, todos los términos verifican $ a_n \ge 1 $, por lo que $ m = 1 $ es una cota inferior.
\[ 1,\ 2,\ 3,\ 4,\ \dots \]
Ejemplo 3
Esta sucesión es acotada.
\[ a_n = (-1)^n \]
Sus valores quedan siempre dentro del intervalo \( [-1, 1] \), de modo que está acotada tanto superior como inferiormente.
\[ -1,\ 1,\ -1,\ 1,\ \dots \]
Ejemplo 4
Esta sucesión no está acotada.
\[ a_n = n^2 \]
A medida que \( n \) crece, los términos aumentan sin límite.
\[ 1,\ 4,\ 9,\ 16,\ \dots \]
Toda sucesión convergente es acotada
Existe un resultado fundamental: toda sucesión que converge a un valor finito es necesariamente acotada.
Es decir, si una sucesión tiene límite, entonces sus términos no pueden "escaparse" hacia el infinito.
Nota. También existen sucesiones acotadas que no son convergentes. Por ejemplo, la sucesión $$ a_n = ( -1 )^n $$ oscila continuamente entre -1 y +1. No converge, pero permanece acotada.
Demostración
Supongamos que la sucesión an converge a un valor \( l \):
$$ \lim_{ n \rightarrow \infty } a_n = l $$
Tomamos \( \epsilon = 1 \):
$$ \epsilon = 1 $$
Por la definición de límite, existe un entero \( v \) tal que:
$$ |a_n - l| < 1 \quad \forall n > v $$
Sumando \( |l| \) a ambos lados:
$$ |(a_n - l) + l| < 1 + |l| $$
Aplicando la desigualdad triangular:
$$ |a_n| \le |a_n - l| + |l| < 1 + |l| $$
Esto significa que, a partir de cierto índice, todos los términos están acotados por \( 1 + |l| \).
Para incluir también los primeros términos, definimos:
$$ M = \max \{ |a_1|, |a_2|, \dots , |a_v|, 1 + |l| \} $$
Así obtenemos una cota válida para toda la sucesión:
$$ |a_n| \le M $$
Con esto se concluye que la sucesión es acotada.
