Déterminant modulo d’une matrice
Le déterminant modulo d’une matrice correspond au déterminant calculé puis ramené modulo un entier donné n.
Pour déterminer le résultat modulo n, on calcule tout d’abord le déterminant de la matrice de manière usuelle.
On applique ensuite l’opération modulo n au résultat obtenu ; on obtient ainsi le déterminant modulo.
Qu’entend-on par modulo ? Le modulo d’un nombre est le reste de sa division par un autre entier, appelé diviseur. En arithmétique modulaire, cette opération s’écrit a mod n et désigne le reste de la division de a par n. Par exemple, $$ 8 \mod 5 = 3 $$ puisque la division de 8 par 5 laisse un reste de 3. Ce concept joue un rôle essentiel en cryptographie.
Exemple pratique
Calculons le déterminant modulo d’une matrice 2×2 avec le modulo 5.
$$ A = \begin{pmatrix} 8 & -1 \\ 3 & 2 \end{pmatrix} \ \mod \ 5 $$
On commence par calculer son déterminant :
$$ \det(A) \ \mod \ 5 = ( 8 \cdot 2 ) - ( -1 \cdot 3 ) \ \mod \ 5 $$
$$ \det(A) \ \mod \ 5 = 16 + 3 \ \mod \ 5 $$
$$ \det(A) \ \mod \ 5 = 19 \ \mod \ 5 $$
En appliquant l’opération modulo 5, on obtient :
Puisque la division de 19 par 5 laisse un reste de 4, il en résulte :
$$ \det(A) \ \mod \ 5 = 4 $$
Remarque. La valeur du déterminant modulo dépend du choix du modulo. En faisant varier ce dernier, le résultat peut changer de manière significative, même pour une matrice inchangée.
Un autre exemple
Reprenons la même matrice, mais cette fois avec le modulo 6.
$$ A = \begin{pmatrix} 8 & -1 \\ 3 & 2 \end{pmatrix} \ \mod \ 6 $$
En suivant la même démarche :
$$ \det(A) \ \mod \ 6 = ( 8 \cdot 2 ) - ( -1 \cdot 3 ) \ \mod \ 6 $$
$$ \det(A) \ \mod \ 6 = 16 + 3 \ \mod \ 6 $$
$$ \det(A) \ \mod \ 6 = 19 \ \mod \ 6 $$
En appliquant l’opération modulo 6, on obtient :
Puisque la division de 19 par 6 laisse un reste de 1, on conclut que :
$$ \det(A) \ \mod \ 6 = 1 $$
Ainsi, on observe que la valeur du déterminant diffère selon le modulo choisi : elle vaut 4 pour le modulo 5 et 1 pour le modulo 6.
De tels raisonnements peuvent naturellement être poursuivis pour d’autres valeurs de modulo.
