Exercice 2 Calcul d’un déterminant
Déterminons le déterminant de la matrice suivante :
$$ A = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 2 & 5 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 2 & 1 \\ 5 & 2 & 3 & 4 \end{pmatrix} $$
Pour simplifier le calcul, nous utiliserons la méthode d’élimination de Gauss.
L’idée est de transformer la matrice en une forme triangulaire supérieure à l’aide d’opérations élémentaires sur les lignes :
- ajouter un multiple d’une ligne à une autre,
- multiplier une ligne par un scalaire,
- échanger deux lignes.
Rappelons que si le nombre d’échanges de lignes est impair, le signe du déterminant doit être inversé.
Étape 1
On échange la première et la quatrième ligne :
$$ R1 \leftrightarrow R4 $$
On obtient alors :
$$ A = \begin{pmatrix} 5 & 2 & 3 & 4 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & 2 & 5 \end{pmatrix} $$
Étape 2
On soustrait la troisième ligne de la quatrième :
$$ R4 = R4 - R3 $$
La matrice devient :
$$ A = \begin{pmatrix} 5 & 2 & 3 & 4 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 4 \end{pmatrix} $$
Étape 3
On échange la deuxième et la troisième ligne :
$$ R2 \leftrightarrow R3 $$
On obtient :
$$ A = \begin{pmatrix} 5 & 2 & 3 & 4 \\ 0 & 1 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 4 \end{pmatrix} $$
À ce stade, la matrice est en forme triangulaire supérieure. Le déterminant se calcule donc directement comme le produit des éléments de la diagonale principale.
Comme nous avons effectué un nombre pair d’échanges de lignes, le signe du déterminant reste inchangé :
$$ \det(A) = \det \begin{pmatrix} 5 & 2 & 3 & 4 \\ 0 & 1 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 4 \end{pmatrix} = 5 \cdot 1 \cdot 0 \cdot 4 = 0 $$
Il en résulte que le déterminant de la matrice est nul.
L’exercice est ainsi entièrement résolu.
