Exercice 1 : Calcul d’un déterminant
Déterminons le calcul du déterminant de la matrice suivante :
$$ A = \begin{pmatrix} 5 & 2 & 3 & 4 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & 2 & 2 \end{pmatrix} $$
Pour simplifier la procédure, nous allons recourir à la méthode d’élimination de Gauss.
L’idée est de transformer la matrice en une forme triangulaire supérieure en utilisant des opérations élémentaires sur les lignes :
- ajouter à une ligne un multiple d’une autre ligne ;
- multiplier une ligne par un scalaire non nul ;
- échanger deux lignes.
Rappelons qu’un échange de deux lignes inverse le signe du déterminant.
Étape 1
Échangeons la deuxième et la troisième ligne :
$$ R2 \leftrightarrow R3 $$
La matrice devient alors :
$$ A = \begin{pmatrix} 5 & 2 & 3 & 4 \\ 0 & 1 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 2 & 2 \end{pmatrix} $$
Étape 2
Soustrayons la deuxième ligne de la quatrième :
$$ R4 = R4 - R2 $$
Après cette opération, la matrice s’écrit :
$$ A = \begin{pmatrix} 5 & 2 & 3 & 4 \\ 0 & 1 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \\ 0-0 & 1-1 & 2-2 & 2-1 \end{pmatrix} $$
$$ A = \begin{pmatrix} 5 & 2 & 3 & 4 \\ 0 & 1 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} $$
La matrice est désormais sous forme triangulaire supérieure.
À ce stade, le déterminant se calcule directement comme le produit des éléments de la diagonale principale.
Comme nous avons effectué un nombre impair d’échanges de lignes, il faut inverser le signe du résultat :
$$ - \det(A) = - \begin{pmatrix} 5 & 2 & 3 & 4 \\ 0 & 1 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} = - (5 \cdot 1 \cdot 1 \cdot 1 ) = - 5 $$
On conclut donc que le déterminant de la matrice est égal à -5.
Et l’on pourrait poursuivre de la même manière pour d’autres exemples.
