Théorème de Binet

Énoncé du théorème de Binet

Le déterminant du produit de deux matrices carrées, det(AB), est égal au produit de leurs déterminants : $$ \det(A \cdot B) = \det(A) \cdot \det(B) $$

Considérons un exemple avec deux matrices carrées de même ordre :

$$ A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} $$

$$ B = \begin{pmatrix} 2 & 4 \\ 1 & 6 \end{pmatrix} $$

Le produit de A par B s’écrit :

$$ AB = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 2 & 4 \\ 1 & 6 \end{pmatrix} $$

En développant la multiplication, on obtient :

$$ AB = \begin{pmatrix} (1 \cdot 2 + 2 \cdot 1) & (1 \cdot 4 + 2 \cdot 6) \\ (3 \cdot 2 + 4 \cdot 1) & (3 \cdot 4 + 4 \cdot 6) \end{pmatrix} $$

$$ AB = \begin{pmatrix} 2 + 2 & 4 + 12 \\ 6 + 4 & 12 + 24 \end{pmatrix} $$

$$ AB = \begin{pmatrix} 4 & 16 \\ 10 & 36 \end{pmatrix} $$

Calculons maintenant le déterminant du produit :

$$ \det(AB) = \begin{vmatrix} 4 & 16 \\ 10 & 36 \end{vmatrix} = 4 \cdot 36 - 16 \cdot 10 = 144 - 160 = -16 $$

Déterminons ensuite séparément les déterminants de A et de B :

$$ \det(A) = \begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{vmatrix} = 1 \cdot 4 - 2 \cdot 3 = 4 - 6 = -2 $$

$$ \det(B) = \begin{vmatrix} 2 & 4 \\ 1 & 6 \end{vmatrix} = 2 \cdot 6 - 4 \cdot 1 = 12 - 4 = 8 $$

Le produit de ces deux déterminants vaut :

$$ \det(A) \cdot \det(B) = -2 \cdot 8 = -16 $$

Comme les deux méthodes conduisent au même résultat, on vérifie bien que :

$$ \det(AB) = \det(A) \cdot \det(B) = -2 \cdot 8 = -16 $$

La démonstration du théorème de Binet est ainsi établie.