Espaces métriques métrisabilité et homéomorphismes

Si un espace topologique \( X \) est métrisable et que \( Y \) lui est homéomorphe, alors \( Y \) est également métrisable.

En d’autres termes, la métrisabilité constitue une propriété qui se conserve par homéomorphisme.

Cela revient à dire que si un espace \( X \) est métrisable, tout espace qui lui est topologiquement équivalent - c’est-à-dire homéomorphe - le sera également.

Ainsi, si l’on sait déjà qu’un espace \( X \) est métrisable et que l’on rencontre un autre espace \( Y \) homéomorphe à \( X \), il est inutile de construire explicitement une métrique sur \( Y \) : on peut affirmer d’emblée que \( Y \) est métrisable.

Explication

Un espace topologique \( X \) est métrisable s’il existe une métrique \( d \) induisant sa topologie. Autrement dit, la structure topologique de \( X \) peut être entièrement décrite à partir d’une distance.

Un homéomorphisme est une application bijective entre deux espaces topologiques \( X \) et \( Y \) qui est continue et dont l’inverse est également continue. Une telle correspondance préserve la structure topologique, de sorte que \( X \) et \( Y \) possèdent les mêmes propriétés topologiques essentielles.

Si \( X \) admet une métrique \( d \) qui engendre sa topologie, alors l’espace \( Y \), en tant qu’homéomorphe de \( X \), peut être muni d’une métrique compatible avec sa topologie. Une telle métrique s’obtient naturellement à partir de la métrique initiale sur \( X \) via l’homéomorphisme.

En résumé, la métrisabilité est une propriété invariante par homéomorphisme : tout espace homéomorphe à un espace métrisable est nécessairement métrisable.

Exemple

Considérons la droite réelle \( \mathbb{R} \) munie de sa topologie usuelle induite par la distance euclidienne, et l’intervalle ouvert \( (-1, 1) \).

On sait que \( \mathbb{R} \) est métrisable avec la métrique standard \( d(x, y) = |x - y| \).

Définissons l’application \( f : \mathbb{R} \to (-1,1) \) par \( f(x) = \frac{x}{\sqrt{1+x^2}} \). Cette application est un homéomorphisme : elle est continue, bijective, et son inverse est continue. En effet, \( f \) établit une correspondance régulière et bijective entre \( \mathbb{R} \) et \( (-1,1) \), sans altérer leur structure topologique.

Puisque \( f \) est un homéomorphisme, elle préserve la topologie. Par conséquent, comme \( \mathbb{R} \) est métrisable, l’intervalle \( (-1,1) \), qui lui est homéomorphe, l’est également. En fait, cet intervalle est métrisable avec la métrique euclidienne restreinte à \( (-1,1) \).

Ce raisonnement s’applique de la même façon à tout couple d’espaces homéomorphes.