Espace topologique métrisable

Un espace métrisable est un espace topologique $ X $ pour lequel il existe une métrique $ d $ qui induit exactement la topologie de $ X $.

Une métrique $ d $ sur un ensemble $ X $ est une application $ d : X \times X \to [0, \infty) $ satisfaisant les propriétés suivantes : non-négativité, symétrie, inégalité triangulaire, et $ d(x, y) = 0 $ si et seulement si $ x = y $.

La topologie induite par $ d $ est définie de telle manière que ses ouverts sont constitués d’unions arbitraires de boules ouvertes, de la forme $ B_r(x) = \{y \in X : d(x, y) < r\} $, où $ r > 0 $ désigne le rayon.

En d’autres termes, un espace topologique $ X $ est métrisable s’il existe une métrique $ d $ dont la famille des boules ouvertes engendre précisément la topologie de $ X $.

Remarque : Cela revient à dire que tout ouvert de la topologie de $ X $ peut s’écrire comme une union - éventuellement infinie - de boules ouvertes définies par la métrique $ d $.

Par exemple, une topologie non hausdorffienne ne peut pas être induite par une métrique. Par conséquent, tout espace topologique n’est pas métrisable.

Exemple concret
Remarques

Exemple concret

Considérons la droite réelle $ \mathbb{R} $ munie de sa topologie usuelle.

Dans cette topologie, les ensembles ouverts sont des unions arbitraires d’intervalles ouverts $ (a, b) $, avec $ a, b \in \mathbb{R} $ et $ a < b $.

On définit la métrique usuelle sur $ \mathbb{R} $ de la façon suivante :

$$ d(x, y) = |x - y| $$

C’est-à-dire la valeur absolue de la différence entre $ x $ et $ y $.

Avec cette métrique, une boule ouverte de centre $ x $ et de rayon $ r $ correspond à l’intervalle ouvert :

$$ B_r(x) = \{ y \in \mathbb{R} : d(x, y) < r \} = (x - r, x + r) $$

Cet intervalle est un ensemble ouvert dans la topologie usuelle.

Comme tout ouvert de $ \mathbb{R} $ peut s’exprimer comme une union d’intervalles ouverts, lesquels coïncident avec les boules ouvertes définies par $ d $, on en conclut que $ \mathbb{R} $, muni de sa topologie habituelle, est un espace métrisable.

Exemple 2

Considérons maintenant un ensemble quelconque $ X $ (fini ou infini) muni de la topologie discrète.

Dans cette topologie, tout sous-ensemble de $ X $ est ouvert.

On définit sur $ X $ la métrique suivante :

$$ d(x, y) =
\begin{cases}
0 & \text{si } x = y, \\
1 & \text{si } x \neq y.
\end{cases}
$$

Il s’agit de la métrique discrète.

Vérifions maintenant si cet espace est métrisable.

Avec cette métrique, une boule ouverte de rayon $ r $ centrée en un point $ x $ est :

Si $ r \leq 1 $, $ B_r(x) = \{ x \} $
Explication : Lorsque $ r \leq 1 $, la seule manière d’avoir $ d(x, y) < r $ est que $ d(x, y) = 0 $, ce qui implique $ y = x $. Dans ce cas, la boule ouverte se réduit au seul point $ x $.
Si $ r > 1 $, $ B_r(x) = X $.
Explication : Lorsque $ r > 1 $, les deux cas $ d(x, y) = 0 $ (si $ x = y $) et $ d(x, y) = 1 $ (si $ x \neq y $) satisfont $ d(x, y) < r $. La boule ouverte contient donc tous les points de $ X $, c’est-à-dire $ B_r(x) = X $.

Les ensembles $ \{ x \} $ et $ X $ sont ouverts dans la topologie discrète.

Puisque tout ouvert de cette topologie peut s’écrire comme une union de boules ouvertes associées à la métrique discrète, on conclut que $ X $, muni de la topologie discrète, est également un espace métrisable.

Dans ce cas, comme dans le précédent, la métrique reflète fidèlement la structure topologique de l’espace.

Remarques

Quelques faits importants concernant les espaces métrisables :

Si un espace topologique $ X $ est métrisable et qu’un espace $ Y $ est homéomorphe à $ X $, alors $ Y $ est également métrisable
Autrement dit, la métrisabilité est une propriété topologique : elle se conserve par homéomorphisme. Ainsi, si l’on sait qu’un espace $ X $ est métrisable et qu’un autre espace $ Y $ lui est homéomorphe, il n’est pas nécessaire de construire explicitement une métrique pour $ Y $ ; on peut immédiatement conclure qu’il est lui aussi métrisable.
Théorème de métrisation d’Urysohn
Un espace topologique est métrisable s’il est régulier et possède une base dénombrable. Ce théorème fournit un critère essentiel pour savoir dans quels cas il est possible de munir une topologie donnée d’une métrique compatible.