Le théorème de métrisabilité d’Urysohn

Un espace topologique est dit métrisable lorsqu’il est à la fois régulier et qu’il possède une base dénombrable.

En clair, cela signifie que si un espace topologique régulier peut être décrit à partir d’une collection dénombrable d’ensembles ouverts, alors il existe une métrique - autrement dit, une notion de distance - qui reproduit exactement la même structure topologique. On peut donc “mesurer” l’espace sans en changer la forme.

• Régulier signifie que, pour tout point et tout ensemble fermé qui ne le contient pas, il existe deux ensembles ouverts disjoints capables de les séparer. Autrement dit, on peut toujours “isoler proprement” un point d’un ensemble fermé.
• Une base dénombrable est une collection dénombrable d’ensembles ouverts à partir desquels on peut reconstruire toute la topologie. Imaginez une infinité ordonnée de “briques” qui, combinées, décrivent toute la structure de l’espace.

Lorsqu’un espace vérifie ces deux conditions, on peut lui associer une fonction de distance qui traduit fidèlement sa topologie.

À retenir : La réciproque n’est pas vraie. Un espace métrisable n’est pas forcément régulier ni muni d’une base dénombrable. Le théorème d’Urysohn nous indique seulement quand une métrique peut exister, pas que toute métrique respecte les mêmes propriétés topologiques.

Que révèle ce théorème ?

Le théorème d’Urysohn montre à quel moment un espace topologique peut être exprimé en termes de distance. Il sert de passerelle entre le monde abstrait de la topologie - fondé sur les ensembles ouverts et fermés - et celui, plus concret, de la géométrie.

En topologie, on ne part pas toujours d’une notion de distance. Parfois, savoir simplement quels ensembles sont ouverts suffit à décrire toute la structure de l’espace. Mais alors, une question naturelle se pose : quand peut-on “mesurer” un espace topologique ?

Urysohn répond clairement : un espace est métrisable s’il est régulier et possède une base dénombrable. Ces deux conditions garantissent qu’on peut construire une métrique qui reproduit exactement la même topologie.

Autrement dit, la topologie et la géométrie se rejoignent  l’abstraction devient mesurable.

Pourquoi c’est important ? Parce que ce théorème relie deux univers mathématiques fondamentaux. Il montre que certains espaces “bien structurés” peuvent être étudiés comme des espaces géométriques classiques, où les notions de distance, de continuité ou de convergence prennent tout leur sens. C’est notamment le cas de la droite réelle, du plan et des espaces euclidiens - tous métisables.

Un exemple concret

Prenons la droite réelle ℝ avec sa topologie standard, formée par les intervalles ouverts. Elle satisfait parfaitement les deux conditions d’Urysohn :

• ℝ est régulière ;
• Elle possède une base dénombrable (les intervalles dont les extrémités sont rationnelles).

Elle est donc métrisable. La distance habituelle $ d(x, y) = |x - y| $ génère exactement la même topologie que celle définie par les intervalles ouverts.

Remarque. Dans la topologie standard de ℝ, les ensembles ouverts sont des unions d’intervalles du type (a, b).
Un point $ x $ appartient à un ensemble ouvert $ A $ s’il existe un intervalle $ (x - \varepsilon, x + \varepsilon) $ entièrement inclus dans $ A $. Cette topologie découle directement de la distance euclidienne $ |x - y| $ et c’est celle utilisée en analyse : les notions de limite, de continuité et de convergence y conservent leur sens géométrique habituel.
 

Exemple 2 : la topologie discrète.

Considérons maintenant la droite réelle ℝ équipée de la topologie discrète. Elle aussi est métrisable, grâce à la métrique discrète :

$$ d(x, y) =
\begin{cases}
0, & \text{si } x = y \\ \\
1, & \text{si } x \ne y.
\end{cases}
$$

Mais cette fois, la base n’est pas dénombrable, car chaque point est à lui seul un ensemble ouvert, et l’ensemble des réels est infini et non dénombrable.

Autrement dit, le théorème d’Urysohn ne fonctionne que dans un sens : un espace métrisable n’a pas nécessairement une base dénombrable.

Remarque. La topologie discrète est la plus “fine” possible : tout sous-ensemble est à la fois ouvert et fermé. En particulier, chaque point est un ensemble ouvert à part entière : $$ {x} \text{ est ouvert pour tout } x \in \mathbb{R}. $$ Dans une telle topologie, il n’existe aucune continuité entre les points : chacun est totalement isolé. C’est une structure simple, mais tellement détaillée qu’elle ne peut pas être engendrée par une base dénombrable lorsque l’ensemble (comme ℝ) est non dénombrable.
Et ainsi de suite.