Théorème de continuité dans les espaces métriques

Ce théorème établit le lien fondamental entre la continuité d’une fonction entre espaces métriques et la définition dite $\varepsilon$-$\delta$.

Une fonction $f$, définie entre deux espaces métriques $(X, d_X)$ et $(Y, d_Y)$, est continue si elle satisfait les conditions suivantes :

Pour un point donné $x \in X$, on fixe un réel $\varepsilon > 0$, exprimant la précision souhaitée sur les valeurs de $f$.
On peut alors trouver un réel $\delta > 0$, qui détermine jusqu’à quelle distance de $x$ on peut s’éloigner dans $X$.
Si un point $x'$ est suffisamment proche de $x$ - c’est-à-dire si la distance $d_X(x, x')$ est inférieure à $\delta$ : $$ d_X(x, x') < \delta $$ alors les images $f(x)$ et $f(x')$ sont également proches dans $Y$, au sens où leur distance selon $d_Y$ est inférieure à $\varepsilon$ : $$ d_Y(f(x), f(x')) < \varepsilon $$

En d’autres termes, cette définition formalise l’idée intuitive selon laquelle une fonction continue ne présente aucune discontinuité brutale : de petites variations dans le domaine ($X$) induisent de petites variations dans le codomaine ($Y$).

On appelle cette caractérisation la définition $\varepsilon$-$\delta$ de la continuité dans les espaces métriques, ou encore l’équivalence entre la continuité et la propriété $\varepsilon$-$\delta$.

Il s’agit en réalité du même concept de continuité introduit en Analyse I, mais généralisé au cadre des espaces métriques.

Remarque : La définition de la continuité enseignée en Analyse I, centrée sur les fonctions de $\mathbb{R}$ ou $\mathbb{R}^n$, constitue un cas particulier de cette formulation générale. Dans ce contexte, une fonction $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ est continue en un point $x \in \mathbb{R}$ si, pour tout $\varepsilon > 0$, il existe un $\delta > 0$ tel que : si $|x - x'| < \delta$, alors $|f(x) - f(x')| < \varepsilon$. On utilise ici les métriques standards : $$ d_X(x, x') = |x - x'| $$ $$ d_Y(f(x), f(x')) = |f(x) - f(x')| $$ La définition générale, en revanche, s’applique à toute fonction entre deux espaces métriques quelconques. L’idée essentielle demeure : de légères perturbations de l’entrée entraînent de légères perturbations de la sortie.

Un exemple illustratif
Démonstration

Un exemple illustratif

Considérons deux espaces métriques :

Domaine : $X = \mathbb{R}$, muni de la métrique usuelle $d_X(x, x') = |x - x'|$.
Codomaine : $Y = \mathbb{R}$, muni également de la métrique usuelle $d_Y(y, y') = |y - y'|$.

Soit $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ définie par :

$$ f(x) = 2x $$

Nous allons vérifier que la fonction $f(x) = 2x$ est continue, en utilisant à la fois la définition topologique (fondée sur les ouverts) et la définition $\varepsilon$-$\delta$, afin d’en démontrer l’équivalence, comme énoncé dans le théorème.

1] Continuité à l’aide des ensembles ouverts

Dans la topologie induite par la métrique standard, un ensemble $V \subseteq Y$ est dit ouvert si, pour tout $y \in V$, il existe un $\varepsilon > 0$ tel que la boule ouverte $B_Y(y, \varepsilon) = \{y' \in Y \mid |y - y'| < \varepsilon\}$ soit incluse dans $V$.

Soit $V \subseteq Y$ un ouvert. Sa préimage par $f$ est définie par :

$$ f^{-1}(V) = \{x \in X \mid f(x) \in V\} $$

Comme $f(x) = 2x$, on obtient :

$$ f^{-1}(V) = \{x \in \mathbb{R} \mid 2x \in V\} $$

Pour chaque $y \in V$, il existe un $\varepsilon > 0$ tel que $B_Y(y, \varepsilon) \subseteq V$.

Il en découle que, pour tout $x \in f^{-1}(V)$, on peut prendre $\delta = \varepsilon / 2$, de sorte que la boule $B_X(x, \delta)$ soit entièrement incluse dans $f^{-1}(V)$.

On en conclut que la préimage de tout ouvert de $Y$ est un ouvert de $X$, ce qui prouve que $f(x) = 2x$ est continue au sens topologique.

2] Continuité via la définition $\varepsilon$-$\delta$

Soit $x \in X$ et $\varepsilon > 0$. Nous cherchons un $\delta > 0$ tel que, si $|x - x'| < \delta$, alors $|f(x) - f(x')| < \varepsilon$.

$$ f(x) = 2x \quad \text{et} \quad f(x') = 2x' \quad \Rightarrow $$

$$ |f(x) - f(x')| = |2x - 2x'| = 2|x - x'| $$

Il suffit donc de poser :

$$ \delta = \frac{\varepsilon}{2} $$

Ainsi, dès que $|x - x'| < \delta$, on a bien $|f(x) - f(x')| < \varepsilon$, ce qui établit la continuité de $f$ selon la définition $\varepsilon$-$\delta$.

3] Conclusion

De cet exemple, on tire les conclusions suivantes :

La fonction $f(x) = 2x$ est continue, car la préimage de tout ouvert est un ouvert.
Les définitions topologique et $\varepsilon$-$\delta$ sont rigoureusement équivalentes dans ce contexte.

Démonstration

Nous voulons démontrer l’équivalence entre deux définitions classiques de la continuité d’une fonction $f : X \to Y$, où $X$ et $Y$ sont des espaces métriques :

Définition topologique : $f$ est continue si, pour tout ouvert $U \subseteq Y$, la préimage $f^{-1}(U)$ est un ouvert dans $X$.
Définition par les voisinages : Pour tout $x \in X$ et tout ouvert $U \subseteq Y$ contenant $f(x)$, il existe un voisinage $V$ de $x$ tel que $f(V) \subseteq U$.

1] De la définition topologique à celle par les voisinages

Supposons que $f$ soit continue au sens topologique, c’est-à-dire que $f^{-1}(U)$ est ouvert dans $X$ pour tout $U \subseteq Y$ ouvert.

Soit $x \in X$ et soit $U \subseteq Y$ un ouvert tel que $f(x) \in U$.

Comme $f^{-1}(U)$ est ouvert et contient $x$, il existe un voisinage $V$ de $x$ inclus dans $f^{-1}(U)$.

Par conséquent, $f(V) \subseteq U$, ce qui correspond bien à la définition par les voisinages.

2] De la définition par les voisinages à celle topologique

Supposons que, pour tout $x \in X$ et tout ouvert $U \subseteq Y$ contenant $f(x)$, il existe un voisinage $V$ de $x$ tel que $f(V) \subseteq U$.

Montrons que, pour tout ouvert $W \subseteq Y$, la préimage $f^{-1}(W)$ est ouverte dans $X$.

Soit $x \in f^{-1}(W)$, ce qui signifie que $f(x) \in W$.

Par hypothèse, il existe un voisinage $V$ de $x$ tel que $f(V) \subseteq W$, donc $V \subseteq f^{-1}(W)$.

Ainsi, $f^{-1}(W)$ est un ouvert de $X$, ce qui conclut la démonstration.

Nous avons donc établi que la continuité définie par les ouverts est équivalente à celle définie par les voisinages.

Ce qui achève la démonstration.