Conjunto limitado em um espaço métrico
Num espaço métrico \((X, d)\), onde \(d\) é a função distância, um subconjunto \(A \subseteq X\) diz-se limitado se existe um número real \(\mu > 0\) tal que, para quaisquer pontos \(x, y \in A\), se tem \(d(x, y) \leq \mu\).
De forma simples, um conjunto é limitado quando todos os seus pontos ficam contidos dentro de uma região com tamanho máximo finito.
Se o próprio espaço \(X\) for limitado em relação à métrica \(d\), diz-se que \(d\) é uma métrica limitada. Isso significa que existe uma constante \(\mu\) que limita todas as distâncias possíveis no espaço.
Observação : Se a métrica \(d\) é limitada, então qualquer subconjunto de \(X\) também é limitado, pois as distâncias entre seus pontos não podem ultrapassar as do espaço como um todo.
Exemplo
Considere o plano cartesiano \(\mathbb{R}^2\), munido da distância euclidiana usual.
A distância entre dois pontos \((x_1, y_1)\) e \((x_2, y_2)\) é dada por :
$$ d((x_1, y_1), (x_2, y_2)) = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} $$
Agora, considere o subconjunto \(A \subseteq \mathbb{R}^2\) formado por todos os pontos \((x, y)\) que pertencem ao interior ou à fronteira de um disco de raio \(10\), centrado na origem :
$$ A = \{(x, y) \in \mathbb{R}^2 \mid x^2 + y^2 \leq 10^2\} $$
Para verificar que \(A\) é limitado, basta encontrar um valor \(\mu\) que funcione como limite superior para todas as distâncias entre pares de pontos do conjunto.
A maior distância possível dentro desse disco ocorre entre dois pontos opostos num diâmetro, por exemplo \((10, 0)\) e \((-10, 0)\).
Nesse caso :
$$ d((10, 0), (-10, 0)) = \sqrt{((-10) - 10)^2 + (0 - 0)^2} = \sqrt{400} = 20 $$
Isso mostra que nenhuma distância entre pontos de \(A\) ultrapassa \(20\).
Portanto, o conjunto \(A\) é limitado, com \(\mu = 20\).
A limitação da métrica não altera a topologia
Um ponto importante é que o fato de uma métrica ser limitada ou não não altera a topologia do espaço, isto é, não muda a forma como os conjuntos abertos e fechados são definidos.
O que é topologia? A topologia é o quadro conceitual que permite definir rigorosamente conjuntos abertos e fechados. Ela depende da estrutura do espaço, e não dos valores numéricos da métrica.
Isso significa que, mesmo que uma métrica não seja limitada, é sempre possível construir outra métrica equivalente do ponto de vista topológico que seja limitada.
Em outras palavras, a limitação da métrica não afeta as propriedades topológicas do espaço.
Exemplo
Uma forma comum de transformar uma métrica não limitada em uma métrica limitada consiste em "comprimir" as distâncias maiores.
Um exemplo dessa transformação é :
$$ d'(x, y) = \frac{d(x, y)}{1 + d(x, y)} $$
O que acontece com essa transformação?
Se \(d(x, y)\) for pequena, então \(d'(x, y)\) é aproximadamente igual a \(d(x, y)\).
Por exemplo :
$$ d(x, y) = 1 \quad \Rightarrow \quad d'(x, y) = \frac{1}{1 + 1} = 0{,}5 $$
Por outro lado, se \(d(x, y)\) for muito grande, então \(d'(x, y)\) se aproxima de \(1\).
Assim, todas as distâncias passam a pertencer ao intervalo \([0, 1)\), sem alterar a estrutura topológica do espaço.
Considere agora o espaço métrico \((X, d)\), onde \(d(x, y) = |x - y|\), que não é uma métrica limitada.
Aplicando a transformação, obtemos :
$$ d'(x, y) = \frac{|x - y|}{1 + |x - y|} $$
Se \(x = 1\) e \(y = 2\), então :
$$ d'(1, 2) = \frac{1}{1 + 1} = 0{,}5 $$
Se \(x = 1\) e \(y = 1000\), então :
$$ d'(1, 1000) = \frac{999}{1 + 999} = 0{,}999 $$
Em todos os casos, as distâncias permanecem menores que \(1\), mantendo exatamente a mesma topologia da métrica original.
Os conjuntos abertos e fechados definidos por \(d\) e por \(d'\) são, portanto, os mesmos.
E assim por diante...
