Isometria entre espaços métricos
Dizemos que dois espaços métricos são isométricos quando existe uma aplicação \(f : X \to Y\) que satisfaz duas condições fundamentais:
- Bijetividade : a cada elemento de \(X\) corresponde exatamente um elemento de \(Y\), e vice-versa.
- Preservação das distâncias : para quaisquer \(x_1, x_2 \in X\), a distância entre eles em \(X\) coincide exatamente com a distância entre as suas imagens em \(Y\): $$ d_X(x_1, x_2) = d_Y(f(x_1), f(x_2)) $$
Nesse caso, a aplicação \(f\) é chamada de isometria, e os espaços \(X\) e \(Y\) são considerados metricamente equivalentes.
A ideia central é simples: duas estruturas são isométricas quando, apesar de poderem parecer diferentes à primeira vista, preservam exatamente as mesmas distâncias entre todos os pontos. Do ponto de vista geométrico, são essencialmente o mesmo espaço.
- Se dois espaços métricos são isométricos, então possuem a mesma topologia. Em outras palavras, os conjuntos abertos coincidem e a estrutura global do espaço é a mesma. A recíproca, porém, não vale em geral.
- Compartilhar a mesma topologia não é suficiente para garantir uma isometria. A isometria é uma condição mais forte, pois exige a conservação exata de todas as distâncias, e não apenas da estrutura dos abertos.
Exemplo concreto
Considere os seguintes espaços métricos:
- \(X = \{a, b, c\}\), com a métrica \(d_X\): $$ d_X(a, b) = 1, \quad d_X(b, c) = 2, \quad d_X(a, c) = 3 $$
- \(Y = \{p, q, r\}\), com a métrica \(d_Y\): $$ d_Y(p, q) = 1, \quad d_Y(q, r) = 2, \quad d_Y(p, r) = 3 $$
Definimos a aplicação \(f : X \to Y\) por:
$$ f(a) = p, \quad f(b) = q, \quad f(c) = r $$
Verifiquemos as distâncias:
- \(d_X(a, b) = 1\) e \(d_Y(p, q) = 1\)
- \(d_X(b, c) = 2\) e \(d_Y(q, r) = 2\)
- \(d_X(a, c) = 3\) e \(d_Y(p, r) = 3\)
Todas as distâncias coincidem. Logo, \(f\) é uma isometria e os espaços \(X\) e \(Y\) são isométricos.
Exemplo 2
No plano, a métrica do táxi (\(d_T\)) e a métrica euclidiana usual (\(d\)) geram a mesma topologia. Isto significa que definem os mesmos conjuntos abertos.
Mas isso basta para que sejam isométricas?
Na métrica do táxi, a distância entre \((x_1, y_1)\) e \((x_2, y_2)\) é dada por:
$$ d_T((x_1, y_1), (x_2, y_2)) = |x_1 - x_2| + |y_1 - y_2| $$
Essa métrica corresponde a deslocamentos horizontais e verticais, como em uma cidade organizada em grade.
Já a métrica euclidiana mede a distância em linha reta:
$$ d((x_1, y_1), (x_2, y_2)) = \sqrt{(x_1 - x_2)^2 + (y_1 - y_2)^2} $$
Considere os pontos \(A = (1, 1)\) e \(B = (2, 2)\).
Na métrica do táxi:
$$ d_T((2, 2), (1, 1)) = 2 $$
Na métrica euclidiana:
$$ d((1, 1), (2, 2)) = \sqrt{2} \approx 1.41 $$
As distâncias são diferentes. Portanto, não existe uma isometria que preserve simultaneamente essas duas métricas.
Conclusão: embora induzam a mesma topologia, o plano com a métrica do táxi e o plano com a métrica euclidiana não são isométricos.
E assim por diante.
