Espaço Métrico

O que é um espaço métrico?

Um espaço métrico é um par \( (X, d) \), em que \( X \) é um conjunto e \( d \) é uma aplicação (chamada métrica) que associa a cada par de pontos \( x, y \in X \) um número real não negativo, indicado por \( d(x, y) \), que representa a distância entre \( x \) e \( y \). Em geral, essa estrutura é representada por \( (X, d) \). $$ (X,d) $$

Para que uma aplicação seja considerada uma métrica, ela deve satisfazer três propriedades fundamentais:

1. Não negatividade : \( d(x, y) \geq 0 \) para todos \( x, y \in X \), e \( d(x, y) = 0 \) se e somente se \( x = y \). Em outras palavras, a distância de um ponto a si mesmo é zero, enquanto entre pontos distintos é sempre positiva.
2. Simetria : \( d(x, y) = d(y, x) \) para todos \( x, y \in X \). A ordem dos pontos não altera a distância.
3. Desigualdade triangular : \( d(x, y) + d(y, z) \geq d(x, z) \) para todos \( x, y, z \in X \). Isso significa que o caminho direto entre dois pontos nunca é maior do que um percurso passando por um terceiro ponto.

De forma intuitiva, um espaço métrico é uma maneira de dar significado matemático à ideia de distância dentro de um conjunto. Esse conceito é essencial para estudar noções centrais como continuidade, convergência e compacidade.

Em síntese, um espaço métrico é um conjunto \( X \) equipado com uma função distância \( d \).

Esse tipo de estrutura é muito geral: pode descrever desde conjuntos discretos simples até espaços vetoriais de dimensão infinita.

Um exemplo concreto

Um dos exemplos mais conhecidos de espaço métrico é o espaço euclidiano \( \mathbb{R}^n \), que corresponde ao conjunto dos pontos do plano (quando \( n = 2 \)) ou do espaço tridimensional (quando \( n = 3 \)).

Consideremos o caso do plano cartesiano \( \mathbb{R}^2 \).

A métrica euclidiana \( d \) é definida, para dois pontos \( p = (p_1, p_2) \) e \( q = (q_1, q_2) \), pela fórmula:

$$ d(p, q) = \sqrt{(p_1 - q_1)^2 + (p_2 - q_2)^2} $$

Essa expressão define a distância euclidiana, isto é, a menor distância em linha reta entre os pontos \( p \) e \( q \) no plano.

Essa métrica satisfaz todas as propriedades exigidas:

1. Não negatividade : A raiz quadrada de uma soma de quadrados é sempre não negativa e é igual a zero apenas quando \( p = q \).
2. Simetria : Como \( (p_1 - q_1)^2 = (q_1 - p_1)^2 \), segue que \( d(p, q) = d(q, p) \).
3. Desigualdade triangular : Pode ser demonstrada com base na desigualdade de Minkowski, um resultado fundamental da análise matemática.

Assim, o espaço \( (\mathbb{R}^2, d) \), com a distância euclidiana, é um exemplo clássico de espaço métrico.

A função distância ou métrica

O que significa exatamente "função distância"?

Uma métrica (ou função distância) é uma aplicação \( d(x_1, x_2) \) que satisfaz as seguintes condições:

\( d(x_1, x_2) \geq 0 \)
\( d(x_1, x_2) = 0 \) se e somente se \( x_1 = x_2 \)
\( d(x_1, x_2) = d(x_2, x_1) \)
\( d(x_1, x_2) \leq d(x_1, x_3) + d(x_3, x_2) \)

para todos \( x_1, x_2, x_3 \in X \).

Tipos de distância

Não existe uma única forma de definir distância. Dependendo do contexto, podem ser utilizadas métricas diferentes.

Distância euclidiana

$$ d_2(x, y) := \sqrt{ \sum{(x_i - y_i)^2 } } $$

É a mais conhecida e serve de base para a geometria euclidiana.

Distância de Manhattan

Também chamada de distância taxicab ou distância \( L^1 \), descreve deslocamentos em uma malha, como as ruas de Manhattan, onde só são permitidos movimentos horizontais e verticais.

$$ d_1(x_1, x_2) := \sum{ |x_i - y_i| } $$

Distância discreta

Nessa métrica, dois pontos têm distância igual a 1 se forem diferentes, e 0 se coincidirem.

$$ d(x, y) := \begin{cases} 0 \:\:\: \text{se } x = y \\ 1 \:\:\: \text{se } x \ne y \end{cases} $$

Distância induzida por uma norma

Uma norma permite sempre definir uma função distância.

Nesse contexto, dizemos que a distância é induzida pela norma.

$$ \|v\| := d(v, 0_V) $$

Ou seja, a norma de um vetor corresponde à sua distância até a origem do espaço vetorial.

Por isso, todo espaço vetorial equipado com uma norma é automaticamente um espaço métrico.

Observação : A recíproca não é verdadeira em geral. Nem toda métrica pode ser obtida a partir de uma norma.

Como reconhecer uma distância induzida

Uma distância é induzida por uma norma quando satisfaz as seguintes propriedades:

\( d(v_1 + v_3, v_2 + v_3) = d(v_1, v_2) \)
\( d(k \cdot v_1, k \cdot v_2 ) = |k| \cdot d(v_1, v_2) \)

onde \( v_1, v_2, v_3 \) são vetores de um espaço vetorial \( V \), e \( k \in K \) é um escalar.

Exemplo

A norma euclidiana verifica essas propriedades, o que mostra que ela induz a distância euclidiana.

Consideremos três vetores \( v_1, v_2, v_3 \) em \( \mathbb{R}^2 \):

$$ v_1 = (6,8) \\ v_2 = (3,4) \\ v_3 = (3,0) $$

As suas normas euclidianas são:

$$ \|v_1\|_2 = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{100} = 10 $$ $$ \|v_2\|_2 = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{25} = 5 $$ $$ \|v_3\|_2 = \sqrt{3^2 + 0^2} = \sqrt{9} = 3 $$

Esses valores correspondem às respetivas distâncias à origem:

$$ \|v_1\|_2 = d(v_1, 0_V) = 10 $$ $$ \|v_2\|_2 = d(v_2, 0_V) = 5 $$ $$ \|v_3\|_2 = d(v_3, 0_V) = 3 $$

Pela definição, tem-se \( \|v\| = d(v, 0_V) \) sempre que se verificam as seguintes condições:
1] \( d(v_1 + v_3, v_2 + v_3) = d(v_1, v_2) \)
2] \( d(k \cdot v_1, k \cdot v_2) = |k| \cdot d(v_1, v_2) \)

Verificação da primeira condição

$$ d(v_1 + v_3, v_2 + v_3) = d(v_1, v_2) $$ $$ d((6,8) + (3,0), (3,4) + (3,0)) = d((6,8), (3,4)) $$ $$ d((9,8), (6,4)) = d((6,8), (3,4)) $$

Calculamos o primeiro membro:

$$ d((9,8), (6,4)) = \sqrt{(9 - 6)^2 + (8 - 4)^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{25} = 5 $$

E o segundo:

$$ d((6,8), (3,4)) = \sqrt{(6 - 3)^2 + (8 - 4)^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{25} = 5 $$

Como os resultados coincidem, a primeira propriedade está verificada.

Verificação da segunda condição

$$ d(k \cdot v_1, k \cdot v_2) = |k| \cdot d(v_1, v_2) $$ $$ d(k \cdot (6,8), k \cdot (3,4)) = |k| \cdot d((6,8), (3,4)) $$

Tomemos \( k = 2 \):

$$ d((12,16), (6,8)) = 2 \cdot d((6,8), (3,4)) $$

Calculando:

$$ d((12,16), (6,8)) = \sqrt{(12 - 6)^2 + (16 - 8)^2} = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{100} = 10 $$

e

$$ 2 \cdot d((6,8), (3,4)) = 2 \cdot 5 = 10 $$

Logo, confirma-se que:

$$ d(k \cdot v_1, k \cdot v_2) = |k| \cdot d(v_1, v_2) = 10 \quad \text{com } k = 2 $$

A segunda propriedade também está verificada.

Conclusão: no espaço euclidiano, a métrica é efetivamente induzida pela norma.

Observações adicionais

Algumas observações úteis sobre espaços métricos:

• Conjunto limitado em um espaço métrico
  Seja \((X, d)\) um espaço métrico. Um subconjunto \(A \subseteq X\) é dito limitado se existe um número real \(\mu > 0\) e um ponto \(x_0 \in X\) tais que: $$ d(x, x_0) \leq \mu \quad \text{para todo } x \in A $$ Em termos simples, todos os pontos de \(A\) ficam dentro de uma bola (aberta ou fechada) de raio finito centrada em \(x_0\).

  Na topologia induzida por \(d\), o facto de um conjunto ser limitado não depende de ele ser aberto ou fechado, mas apenas das distâncias entre os seus elementos.

• Métrica limitada
  Se o próprio espaço \(X\) é limitado, diz-se que a métrica \(d\) é limitada.
• Teorema da base para a topologia induzida por uma métrica
  Em um espaço métrico \((X, d)\), a família das bolas abertas $$ \mathcal{B} = \{B_d(x, \varepsilon) \mid x \in X, \varepsilon > 0\} $$ constitui uma base da topologia.
• Teorema de continuidade em espaços métricos
  Uma função \(f : X \to Y\) entre dois espaços métricos \((X, d_X)\) e \((Y, d_Y)\) é contínua se, para todo \(x \in X\) e todo \(\varepsilon > 0\), existe \(\delta > 0\) tal que: $$ d_X(x, x') < \delta \Rightarrow d_Y(f(x), f(x')) < \varepsilon $$ para todo \(x' \in X\).
• Todo espaço métrico é um espaço de Hausdorff
  Todo espaço métrico é necessariamente um espaço de Hausdorff. Reciprocamente, um espaço topológico que não satisfaz essa propriedade não pode ser metrizado.

  Observação : Um espaço é dito de Hausdorff se, dados dois pontos distintos, existem abertos disjuntos que contêm cada um deles.

E assim por diante...