Espaços topológicos metrizáveis
Um espaço metrizável é um espaço topológico \( X \) para o qual existe uma métrica \( d \) que induz exatamente a topologia de \( X \).
Em termos simples, isso significa que a noção de distância definida por \( d \) é suficiente para descrever completamente a estrutura dos conjuntos abertos de \( X \).
Uma métrica \( d \) sobre um conjunto \( X \) é uma aplicação \( d : X \times X \to [0, \infty) \) que satisfaz quatro propriedades fundamentais: não negatividade, simetria, desigualdade triangular e a condição \( d(x, y) = 0 \) se, e somente se, \( x = y \).
A partir de uma métrica, define-se naturalmente uma topologia. Nessa topologia, os conjuntos abertos são todas as uniões arbitrárias de bolas abertas da forma \( B_r(x) = \{y \in X : d(x, y) < r\} \), onde \( r > 0 \) representa o raio.
Assim, um espaço topológico \( X \) é metrizável quando existe uma métrica \( d \) tal que as bolas abertas associadas a \( d \) geram exatamente a topologia de \( X \).
Observação : Em outras palavras, todo conjunto aberto de \( X \) pode ser escrito como uma união, eventualmente infinita, de bolas abertas definidas pela métrica \( d \).
Nem todo espaço topológico possui essa propriedade. Por exemplo, uma topologia não hausdorffiana não pode ser induzida por nenhuma métrica.
Exemplo concreto
Considere a reta real \( \mathbb{R} \), munida de sua topologia usual.
Nesse caso, os conjuntos abertos são uniões arbitrárias de intervalos abertos \( (a, b) \), com \( a, b \in \mathbb{R} \) e \( a < b \).
A métrica usual em \( \mathbb{R} \) é dada por:
$$ d(x, y) = |x - y| $$
ou seja, o valor absoluto da diferença entre \( x \) e \( y \).
Com essa métrica, a bola aberta de centro \( x \) e raio \( r \) coincide com o intervalo aberto:
$$ B_r(x) = \{ y \in \mathbb{R} : d(x, y) < r \} = (x - r, x + r) $$
Esse intervalo é aberto na topologia usual.
Como todo conjunto aberto de \( \mathbb{R} \) pode ser descrito como união de intervalos abertos, que coincidem com as bolas abertas definidas pela métrica, concluímos que \( \mathbb{R} \) é um espaço metrizável.
Exemplo 2
Considere agora um conjunto qualquer \( X \), finito ou infinito, munido da topologia discreta.
Nessa topologia, todo subconjunto de \( X \) é aberto.
Definimos em \( X \) a seguinte métrica:
$$ d(x, y) =
\begin{cases}
0 & \text{se } x = y, \\
1 & \text{se } x \neq y.
\end{cases}
$$
Essa é chamada de métrica discreta.
Vamos analisar como são as bolas abertas nessa métrica.
- Se \( r \leq 1 \), então \( B_r(x) = \{ x \}
- Se \( r > 1 \), então \( B_r(x) = X
Explicação : Para que \( d(x, y) < r \) com \( r \leq 1 \), é necessário que \( d(x, y) = 0 \), ou seja, \( y = x \). A bola aberta contém apenas o ponto central.
Explicação : Nesse caso, tanto \( d(x, y) = 0 \) quanto \( d(x, y) = 1 \) satisfazem \( d(x, y) < r \). Logo, a bola aberta coincide com todo o conjunto \( X \).
Os conjuntos \( \{ x \} \) e \( X \) são abertos na topologia discreta.
Como qualquer aberto pode ser escrito como união de bolas abertas dessa métrica, concluímos que \( X \) é um espaço metrizável.
Nesse exemplo, fica claro como a métrica descreve exatamente a estrutura da topologia.
Observações
Alguns resultados importantes ajudam a entender melhor os espaços metrizáveis:
- A metrizabilidade é preservada por homeomorfismos
Se um espaço \( X \) é metrizável e um espaço \( Y \) é homeomorfo a \( X \), então \( Y \) também é metrizável. Isso significa que não é necessário construir uma métrica explicitamente para \( Y \), basta saber que ele é topologicamente equivalente a um espaço metrizável. - Teorema de metrização de Urysohn
Um espaço topológico é metrizável se for regular e possuir uma base enumerável. Esse teorema fornece um critério prático para verificar quando uma topologia pode ser descrita por uma métrica.
